1、第二课时等比数列的性质及应用 选题明细表知识点、方法题号等比数列的性质及应用1,2,6,9等差、等比数列综合3,4,5,8,10,11,12等比数列实际应用7基础巩固1.(2019河南洛阳模拟)在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11等于(B)(A)10(B)25(C)50(D)75解析:利用等比数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,可得a8a11=a9a10=a7a12=5,所以a8a9a10a11=25.故选B.2.在等比数列an中,若a1a2a3=-8,则a2等于(B)(A)-(B)-2(C)(D)2解析:由等比数列的性质,得=a1
2、a3,又a1a2a3=-8,则=-8,即a2=-2.故选B.3.(2019广州高二检测)已知等差数列an的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于(C)(A)-5(B)2(C)3(D)-3解析:由条件可知,a1a5=,即a1(a1+8)=(a1+2)2,解得a1=1,所以a2=a1+d=3.故选C.4.已知等比数列an中,a3a11=4a7,数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于(C)(A)2(B)4(C)8(D)16解析:等比数列an中,a3a11=4a7,解得a7=4,等差数列bn中,b5+b9=2b7=2a7=8.故选C.5.(2019辽宁大连检测)公差不为零的等差
3、数列的第二、三、六项依次成等比数列,则公比是(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:设此等差数列的首项为a1,公差为d,则通项an=a1+(n-1)d,从而可得a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d,又因为等差数列的第二、三、六项依次成等比数列,所以=a2a6,把a2,a3,a6代入可得2a1=-d,即d=-2a1,所以公比为=,把d=-2a1代入得公比为3.故选B.6.(2019无锡检测)等比数列an中,a1a2a3=1,a3a4a5=64,则a2+a4+a6=.解析:由等比数列的性质a1a3=,a3a5=,所以=1,=64,所以a2=1,a4=4,又a2a6=,所以a6=1
4、6,所以a2+a4+a6=1+4+16=21.答案:217.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于平方厘米.解析:依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列an(1n10,nN*),则第10个正方形的面积S=2()92=429=2 048(平方厘米).答案:2 0488.已知4个数,前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,中间两数之积为16,首末两数之积为-128.求这4个数.解:设第3个数为x,后3个数的公比为q(q0),则由题意知这4个数依次为-x,
5、x,xq,于是即消去x2得(2-q)16q=-128,即q2-2q-8=0,解得q=4或q=-2(舍去),所以x2=64,解得x=8或x=-8.当q=4,x=8时,所求的4个数为-4,2,8,32;当q=4,x=-8时,所求的4个数为4,-2,-8,-32.能力提升9.(2019吉林实验中学模拟)在正项等比数列an中,lg a3+lg a6+lg a9=6,则a1a11的值是(D)(A)10 (B)1 000 (C)100(D)10 000解析:由已知得lg a3+lg a6+lg a9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,而a3a9=,所以=106,所以a6=102.由等比数
6、列的性质可得a1a11=104.故选D.10.已知an是等差数列,a1=1,公差d0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=.解析:因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a1a5,所以(1+d)2=1(4d+1),所以d2-2d=0.因为d0,所以d=2,所以S8=81+2=64.答案:6411.(2019淄博高二检测)已知等比数列bn与数列an满足bn=,nN*.(1)判断an是什么数列,并证明;(2)若a8+a13=,求b1b2b20.解:(1)an是等差数列,证明如下:因为bn=,所以log2bn=an,所以an-1=log2bn-1(n2),所以an-an-1=log
7、2.因为bn为等比数列,所以为常数,log2也是常数,所以数列an为等差数列.(2)因为bn=,所以b1b2b3b20=,由(1)知an为等差数列,且a8+a13=,所以a1+a2+a3+a20=10(a8+a13)=5,所以b1b2b3b20=25=32.探究创新12.(2019吉林模拟)已知等比数列an的各项均为不等于1的正数,数列bn满足bn=lg an,b3=18,b6=12,则数列bn的前n项和的最大值等于(C)(A)126(B)130(C)132(D)134解析:设等比数列an的公比为q,所以bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg =lg q(常数),所以bn为等差数列,设其公差为d,所以所以则bn=-2n+24,令bn=-2n+240,得n12,可知bn的前11项为正,第12项为零,从第13项起均为负,所以S11,S12最大,易知S11=S12=132.故选C.
