1、43平面向量的数量积一、选择题1已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12B6C6 D12解析：2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0102k0，解得k12.答案：D2设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B.C. D.解析：依题意得(a2b)2a24b24ab543，则|a2b|，故选B.答案：B3在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2C3 D4解析：据题意可得|2()21cos13521cos13521cos0122.答案：B4已知a与b均为
2、单位向量，其夹角为，有下列四个命题p1：|ab|10，)p2：|ab|1(，p3：|ab|10，)p4：|ab|1(，其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3Cp2，p3 Dp2，p4解析：由|ab|1可得：a22abb21，|a|1，|b|1，ab，故0，)当0，)时，ab，|ab|2a22abb21，即|ab|1；由|ab|1可得：a22abb21，|a|1，|b|1，ab，故(，反之也成立，选A.答案：A5若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21
3、，由ab0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc21，因为|abc|2a2b2c22ab2ac2bc，所以有|abc|232(acbc)1，故|abc|1.答案：B6设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()A4a5b3 B5a4b3C4a5b14 D5a4b14解析：由图知，要使与在方向上的投影相同，只需使，即(2a，b1)(4,5)0得4a5b30.答案：A二、填空题7已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析：设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2
4、ab2b272cos6，所以cos，因为0，所以.答案：8已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_.解析：依题意得(2e1e2)24ee4e1e241412cos603，故|2e1e2|.答案：9若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_解析：如图，向量与在单位圆O内，其中因|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的三角形的面积为，故的终点在如图的线段AB(且圆心O到AB的距离为)上，因此夹角的取值范围为，答案：，三、解答题10已知(2,5)，(3,1)， (6,3)，在上是否存在点M，使，若存在，求出点M的
5、坐标；若不存在，请说明理由解析：设存在点M，且(6，3)(01)，(26，53)，(36，13)，(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得，或.(2,1)，或(，)存在M(2,1)，或M(，)满足题意11(2014佛山质检)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.解析：(1)因为a与b2c垂直，所以a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin4sin()8cos()0，因此tan()2.(2)由bc(sinco
6、s，4cos4sin)，得|bc|4.又当时，等号成立，所以|bc|的最大值为4.(3)由tantan16得，所以ab.12已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1.(1)求向量n；(2)ABC中三内角A、B、C依次成等差数列，若向量n(0，1)，向量p (cosA,2cos2)，求|np|的取值范围解析：(1)设n(x，y)，由mn1，可得xy1，又m与n的夹角为，有mn|m|n|cos，则x2y21，由、解得或.n(1,0)或n(0，1)(2)由2BAC知B，AC，0A，若n(0，1)，则np(cosA,2cos21)(cosA，cosC)，|np|2cos2Acos2C1cos2Acos(2A)1cos(2A)，0A，2A，1cos(2A)，1cos(2A)，即|np|2，)，|np|，)
