1、向量的基本运算例1如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是.(例1)【分析】求向量的数量积可用向量的数量积公式,在用公式不太方便时,常利用平面向量基本定理,选择两个特殊向量作为基底,把所求向量用基底表示,再用向量数量积公式进行运算.如果图形是特殊图形,可以考虑建立坐标系,利用向量的坐标进行运算.【答案】(例1)【解析】方法一:坐标法.如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2).故=(,0),=(x,2),=(,1),=(x-,2),所以=(,0)(x,2)=x
2、=,所以x=1,所以=(1-,2),所以=(,1)(1-,2)=-2+2=.方法二:设=x,则=(x-1).=(+)=(+x)=x=2x,又因为=,所以2x=,所以x=,所以=+=+,所以=(+)+=(+)+=|2+|2=2+4=.【点评】本题考查平面向量基本定理,向量的数量积公式,向量的坐标运算.向量的数量积的计算通过利用平面向量的基本定理,转化为已知向量的数量积;对于特殊图形,通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求出结果.变式1已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.【答案】5【解析】方法一:以D为坐标原点,DA
3、,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x,则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(变式1)=(2,-x),=(1,a-x),所以+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)225,所以|+3|的最小值为5.方法二:设=x(0x0,y0).根据基本不等式知+2,所以xy3,即xy的最大值为3.向量与解三角形例2已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且mn=-1.(1) 求向量n;(2) 若向量n与q=(1,0)共线,向量p=,其中A,C为ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,求|n+p|的取值范围.
4、【分析】(1) 利用数量积坐标公式和方程思想求出n的坐标;(2) 利用三角形内角和为与三角公式将|n+p|转化为求一个角的三角函数的范围问题.【解答】(1) 设n(x,y),由mn=-1,得x+y=-1,又向量n与m的夹角为,得x2+y2=1.由解得或所以n=(-1,0)或n=(0,-1).(2) 由向量n与q=(1,0)共线知n=(-1,0).由2B=A+C,知B=,A+C=,0A.n+p=(cos C,cos A),所以|n+p|2=cos2C+cos2A=+=1+=1+cos,因为0A,所以2A+,-1cos,得1+cos,即|n+p|2,所以|n+p|.变式已知ABC的角A,B,C所对
5、的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1) 若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2) 若mp,边长c=2,C=,求ABC的面积S.【解答】(1) 因为mn,所以asin A=bsin B,由正弦定理得a2=b2,所以a=b,所以ABC为等腰三角形.(2) 由题意可知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,所以a+b=ab.由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,所以ab=4或-1(舍去),所以S=absin C=4sin =.三角函数与导数例3(2014南通期末)如图,一块弓形薄
6、铁片EMF,(例3)点M为的中点,其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内),EOF=.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗),ADEF,且点A,D在上,设AOD=2.(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式;(2) 当矩形铁片ABCD的面积最大时,求cos的值.【解答】(1) 设矩形铁片的面积为S,AOM=.当0时(如图1),AB=4cos+2,AD=24sin,S=ABAD=(4cos+2)(24sin)=16sin(2cos+1).当时(如图2),AB=24cos,AD=24sin,图1图2(例3)故S=ABAD=64sincos=32sin2.综上,
7、矩形铁片的面积S关于的函数关系式为S=(2) 当0时,对S求导,得S=16cos(2cos+1)+sin(-2sin)=16(4cos2+cos-2).令S=0,得cos=.记区间内余弦值等于的角为0(唯一存在).列表:(0,0)0S+0-S极大值又当时,S=32sin2在上是单调减函数,所以当=0时,矩形的面积最大,此时cos=.【点评】根据条件,分段列出面积S的表达式是解决本题的关键.变式(2014南通三调)某风景区在一个直径AB为100 m的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路
8、,在路的一侧边缘种植绿化带.设BAC=(单位:弧度)(注:小路及绿化带的宽度忽略不计).(变式)(1) 将绿化带总长度表示为的函数s();(2) 试确定的值,使得绿化带总长度最大.【解答】(1) 如图,连接BC,设圆心为O,连接CO.在RtABC中,AB=100,BAC=,(变式)所以AC=100cos.因为BOC=2BAC=2,所以弧BC的长为502=100.所以s()=2100cos+100,即s()=200cos+100,.(2) s()=100(-2sin+1),令s()=0,则=,列表如下:s()+0-s()极大值所以当=时,s()取得极大值,即为最大值.故当=时,绿化带总长度最大.