1、1. 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由题意知抛物线的准线方程为x=-2,所以双曲线的半焦距c=2.又双曲线的离心率为2,所以a=1,所以双曲线的方程为x2-=1.2. 若双曲线C1:-=1(m0,b0)与椭圆C2:+=1(ab0)有相同的焦点,双曲线C1的离心率是e1,椭圆C2的离心率是e2,则+=.【答案】2【解析】在双曲线中,c2=m2+b2,在椭圆中,c2=a2-b2,所以c2=a2-b2=m2+b2,即m2=a2-2b2.所以+=+=2.3. 已知椭圆E:+y2=1的左、右顶点分别为
2、A,B,圆x2+y2=4上有一动点P,点P在x轴上方,C(1,0),直线PA交椭圆E于点D,连接DC,PB.(第3题)(1) 若ADC=90,求ADC的面积S;(2) 设直线PB,DC的斜率存在且分别为k1,k2,若k1=k2,求的取值范围.【解答】(1) 由题意知A(-2,0),B(2,0).设D(x,y).因为ADC=90,所以AD2+DC2=AC2.则(x+2)2+y2+(x-1)2+y2=9,即x2+y2+x-2=0.因为点D在椭圆E上,所以+y2=1.联立,消去y,得3x2+4x-4=0,因为-2x2,所以x=.代入椭圆方程,得y=.所以ADC的面积S=3=.(2) 设P(x0,y0
3、),则直线PA的方程为y=(x+2),代入椭圆方程+y2=1,消去y,得x2+4(x+2)2-4=0.因为+=4,所以x2+4(x+2)2-4=0,即(10-3x0)x2+(32-16x0)x+24-20x0=0.(*)设D(x1,y1),又方程(*)有一根为-2,则x1=,代入直线PA方程,得y1=.则k1=,k2=.因为k1=k2,所以=.因为-2x0b0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(第4题)(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.【解答】(1) 由题意知b=.因为离心率e=,所以=,所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2) 由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.方法一:联立,解得x=,y=,即T.由+=1,可得=8-4.因为+=1,所以T点坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.方法二:设T(x,y).联立解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1.整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以T点坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.
