1、安徽省安庆市怀宁县第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1直线的倾斜角是ABCD2已知是边长为4的等边三角形，则的斜二测直观图的面积为ABCD3如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是 ABCD4已知直线 与直线平行，则它们之间的距离是A1BC3D45如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是A平面平面 BC平面D与相交6已知，为两个不同的平面，为两条不同的直线，有以下命题：若，则.若，则.若，则.若，则.其中真命题有ABCD7与直线2x+y1=0关于点（1，0）对称的直线方程是A2x
2、+y3=0B2x+y+3=0Cx+2y+3=0Dx+2y3=08若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是A B或 C D9已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A1BC或1D2或110如图,四边形是边长为的正方形，平面，平面，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD11在直三棱柱中，则其外接球的体积为ABCD12已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是ABCD第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知直线与直线垂直，=_14已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .15设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的体
3、积是_16经过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当AOB面积最小时，直线l的方程为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知平面内两点.（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程18如图，在直三棱柱中，分别是，的中点. 求证：（1）平面平面；（2）平面.19如图，在四棱锥中，平面，E为的中点，F为的中点.（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离.20已知直线方程为，.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.21求下列圆的方程（1）已知点A(4，5)，B(6，1)，以线段AB为直径的圆的方程（
4、2）过两点C(1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程22在正方体中.（1）求证：；（2）是中点时，求直线与面所成角.20202021学年度第一学期期中考试高二数学试题（文科）参考答案1D【解析】【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则tan，.故选：D.【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于较易题.2A【解析】【分析】本题首先可以设的原图面积为以及斜二测直观图的面积为，然后根据题意求出的原图面积，最后根据原图面积与斜二测直观图面积比值为即可得出结果.【详解】设的原图面积为，斜二测直观图的面积为，因为是边长为4的等边三角形
5、，所以的原图面积，因为原图面积与斜二测直观图面积比值为，即，所以斜二测直观图的面积，故选：A.【点睛】本题考查三角形的斜二测直观图的面积的求法，可通过原图面积与斜二测直观图面积比值为得出结果，考查计算能力，是简单题.3D【解析】【分析】由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，而且圆锥和圆柱的底面积相等，故此几何体的直观图是：故选D【详解】4B【解析】【分析】由题意两直线平行，得，由直线可化为，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】由题意直线与直线平行，则，即，则直线可化为，所以两直线之间的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解
6、，其中解答中根据两直线的平行关系，求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5A【解析】【分析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可.【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A，如图可知，且平面，平面，且平面，平面，所以平面平面，故正确.选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.6B【解析】【分析】由线面垂直的
7、性质和面面平行的定义，命题正确与有可能相交，命题错误由面面垂直的判定定理判断，命题正确成立的前提是面面垂直，命题错误【详解】对命题，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若，则平面与无公共点，可证，命题正确对命题，若与为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题错误对命题，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. 中，所以命题正确对命题，若二面角的平面角为锐角时，与斜交，命题错误【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明，旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间想象能力7A【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，
8、b），则a=2-x，b=-y，（a，b）在直线2x+y-1=0上2a+b-1=02（2-x）-y-1=02x+y-3=0故选A8B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程表示圆，必有，即可求出的取值范围.【详解】方程表示圆，必有，即，解可得，或，故选：B.【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程表示圆，则有，考查计算能力，属于基础题.9D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的
9、截距相等，可得，解得；综上所述，实数或故选D【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10C【解析】【分析】根据题意画出图形,取中点,连接,可得,故为异面直线与所成角,结合已知,即可求得答案.【详解】根据题意画出图形,取中点,连接且四边形是平行四边形且又四边形是的正方形可得且故且四边形是的平行四边形且故为异面直线与所成角在根据勾股定理可得:在根据勾股定理可得:在中根据余弦定理:可得：故选:C【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异
10、面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.11D【解析】【分析】将该直三棱柱补成长宽高分别为的长方体，三棱柱的外接球就是长方体的外接球，从而可得结果.【详解】因为直三棱柱中，所以可将该直三棱柱补成长宽高分别为的长方体，三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线长，所以，外接球的体积为，故选D.【点睛】本题主要考查直三棱柱的性质以及球的体积公式，属于中档题. 求多面体外接球的体积与表面积时，除了设出球心求外接球半径外，还可以将所给多面体补成长方体求解.12D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围详解：点A（3，
11、4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，直线l的斜率kkPB或kkPA，PA的斜率为 =1，PB的斜率为=1，直线l的斜率k1或k1，故选D点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.131或-1【解析】【分析】由直线垂直可得（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0，解之即可【详解】依题意，l1l2，故（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0，化简得a2=1，解得a=1或a=1故a的值为：1或1【点睛】本题考查
12、直线垂直的充要条件l1l2A1A2B1B20.，属于基础题14【解析】【分析】【详解】连接DE，设AD=2，易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，cosDAE=15【解析】【分析】根据锥体的体积公式，找到并求出三棱锥的高及底面面积即可求解.【详解】由题意可知该三棱锥为棱长为2的正方体的一个角，如图所示：所以故答案为：【点睛】本题考查锥体体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.16x+2y40；【解析】【分析】先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解【详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y1
13、k（x2），k0，令x0可得，y12k，令y0可得x2，则，当且仅当4k即k时取等号，此时直线方程y1（x2）,即x+2y40故答案为：x+2y40【点睛】本题主要考查了直线方程的应用及利用基本不等式求最值问题，属于基础题17（1）; （2）.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为.试题解析：（1）， 的中点坐标为，的中垂线斜率为由点斜式可得 的中垂线方程为（2）由点斜式 直线的方程18（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明平面得到答案.（2）为中点，连接，确定四边形为平行四边形，得到证明
14、.【详解】（1）在直三棱柱，则平面，平面，故，故平面，平面，故平面平面.（2）如图所示：为中点，连接，故，故，故四边形为平行四边形，故，平面，故平面.【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.19（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，证明四边形为平行四边形，则有，即可证平面；（2）过点A作，垂足为H，证明平面，又，所以点D到平面的距离即为长，求解即可.此问也可采用等体积法求解.【详解】（1）如图，取的中点G，连接.，且.，.，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）如图，过点A作，垂足为H.平面平面，.，又平面，平面.平
15、面，.平面，平面.在中，.平面平面，平面，点D到平面的距离与点A到平面的距离相等，故点D到平面的距离为.（注：也可利用求解）【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，直线与平面垂直的判断，点到平面距离的计算，考查了学生的直观想象，逻辑推理与运算求解能力，考查了转化与化归的思想.20（1）（2）或【解析】【分析】(1)将含有的项提取出来,再令所乘的式为0,不含的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线在轴上的截距令其相等求解即可.【详解】(1) 由化简得,令 ,故直线恒过定点(2)由题得中.令有,故在轴上的截距为.令有.故在轴上的截距为.故,故或.当时, 化简得,当时,化简得故直线的方程为或【
16、点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.21（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径即可得；（2）设圆心坐标为，利用圆上两点到圆心距离相等求得，然后再求得圆半径，得圆方程【详解】（1）由题意线段中点坐标为，半径为，所求圆方程为；（2）设圆心坐标为，圆过两点，解得，圆方程为【点睛】本题考查求圆的标准方程，确定圆心与圆的半径是解题关键22（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，证明平面，进而可得出；（2）连接、，设，过点在平面内作，垂足为点，连接，设，则角和均为直线与平面所成的角，从而可得出，即可求出所求角.【详解】（1）如下图所示，连接，在正方体中，平面，平面，四边形为正方形，平面，平面，；（2）连接、，设，过点在平面内作，垂足为点，设，设正方体的棱长为，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，在平面内，则、四点共面，为的中点，且，平面，平面，由勾股定理得，连接，设，则直线与面所成角为，则，由连比定理得，则，因此，直线与面所成角为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题