1、重难点04 方案设计问题【命题趋势】 方案设计问题是也是中考数学中一个热门题型，一般题量为1题，多为解答题，分值约8-10分方案设计型问题是通过一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识技能和方法，通过设计或操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案，要求半断哪个方案最优.它包括经济类方案设计、作图类方案设计、测量类方案设计等类型方案设计问题特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又其有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此
2、倍受命题者的青睐。【满分技巧】一方案设计型问题一般解决步骤一般包括“审题建立相应模型应用相关知识解决问题”三个步骤其中根据具体问题建立相应的数学模型是解决这类问题的关键二初中数学主要数学模型1 方程(组)模型2函数模型（一次函数、二次函数、反比例函数）3不等式模型根据具体问题建立相应的数学模型，其实质就是利用相关知识解决生活实际问题，所谓建立数学模型，主要是因为实际问题中可能没有使用数学化的语言表示一些具体的量或数值，需要我们自己去建立或设出相应的符号，把生活实际问题数学化以方便我们去利用相关数学知识解决这类问题三熟练掌握和运用数学的常用思想方法我们在解决任何问题时，往往都是利用现有的知识结合
3、一些重要的数学思想方法去解决问题，我们一定要把实际问题转化成数学问题，利用现有的知识和方法，结合模型、转化、类比等数学思想解决问题【限时检测】（建议用时：30分钟）一、 选择题1. (2019 黑龙江省鸡西市)某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有A4种B3种C2种D1种【答案】B【解析】设一等奖个数个，二等奖个数个，根据题意，得6x+4y=34，使方程成立的解有，方案一共有3种；故选：B2. (2019 黑龙江省绥化市)小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件
4、2元若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量则小明的购买方案有（）A5种B4种C3种D2种【答案】C【解析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，解得，1x3，x为整数，x1或2或3，有3种购买方案故选：C3. (2019 湖北省仙桃潜江天门江汉油田)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A3种B4种C5种D9种【答案】B【解析】设2m的钢管b根，根据题意得：a+2b9，a、b均为整数，故选：B4. (2019 江西省)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面
5、完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A3种B4种C5种D6种【答案】D【解析】共有6种拼接法，如图所示故选：D5. (2019 四川省绵阳市)红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种【答案】C【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据题意，得：，解得：20x25，x为整数，x=20、21、22、23、24，该店进货方案有5种，故选：C二、作图题
6、6. (2019 四川省广安市)在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的33正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个33的正方形方格画一种，例图除外）【解析】如图所示7. (2019 浙江省宁波市)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（2）使得6个阴影小
7、等边三角形组成一个中心对称图形（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【解析】（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形三、解答题8. (2019 贵州省遵义市)某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量45人，型客车每辆载客量30人若租用4辆型客车和3辆型客车共需费用10700元；若租用3辆型客车和4辆型客车共需费用10300元（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你
8、有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？【解析】（1）设租用，两型客车，每辆费用分别是元、元，解得，答：租用，两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）设租用型客车辆，租用型客车辆，解得，共有三种租车方案，方案一：租用型客车2辆，型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用型客车4辆，型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用型客车5辆，型客车1辆，费用为9800元，由上可得，方案二：租用型客车4辆，型客车2辆最省钱9. (2019 黑龙江省鸡西市)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花
9、费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？【解析】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：，解得，答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；（2）根据题意得：，解得，是整数，37，38，39，40有5种购买方案；（3），随的增大而增大，当时，（元，答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资
10、金是960元10. (2019 湖北省荆州市)为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租
11、车总辆数为 辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，依题意，得：，解得：答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人（2）（234+16）357（辆）5（人），1628（辆），租车总辆数为8辆故答案为：8（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8m）辆，依题意，得：，解得：2m5m为正整数，m2，3，4，5，共有4种租车方案设租车总费用为w元，则w400m+320（8m）80m+2560，800，w的值随m值的增大而增大，当m2时，w取得最小值，最小值为2720学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元11.
12、 (2019 湖南省郴州市)某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？【解析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，依
13、题意，得：，解得：x6，经检验，x6是原方程的解，且符合题意，x+28答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10m）台，依题意，得：，解得：6m8m为正整数，m6，7，8答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台12. (2019 湖南省衡阳市)某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元
14、；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【解析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：，解得：x5，经检验，x5是原方程的解，且符合题意，x+1015答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80m）个，依题意，得：，解得：15m16m为整数，m15或16商店有2种购买方案，方案：购进A商品65个、B商品15个；方案：购进A商品64个、B商品16个13. (2019 湖南省张家
15、界市)某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x40）棵，由题意可得，30x+20（2x40）9000，50x9800，x196，购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10y）棵，根据题意可得，30y+20（10y）230，10y30，y3；购买方案1：购买甲树苗3
16、棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；14. (2019 山东省滨州市)有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用【解析】（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人
17、，y人，解得：，答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；（2）设租用甲种客车x辆，依题意有：，解得：6x4，因为x取整数，所以x4或5，当x4时，租车费用最低，为4400+2280216015. (2019 四川省巴中市)在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同请问甲、乙两种物品的单价各为多少？如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【解析】设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x
18、+10）元，由题意得：解得x90经检验，x90符合题意甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55y）件由题意得：5000100y+90（55y）5050解得5y10共有6种选购方案16. (2019 四川省广安市)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【解析】（1）设
19、1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，解得，答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200a）只，费用为w元，w5a+7（200a）2a+1400，a3（200a），a150，当a150时，w取得最小值，此时w1100，200a50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱17. (2019 浙江省温州市)某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成已知儿童10人，成人比少年多12人（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）
20、带领10名儿童去另一景区B游玩景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少【解析】（1）设成人有x人，少年y人，解得，答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：1008+51000.8+（108）1000.61320（元），答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；设可以
21、安排成人a人，少年b人带队，则1a17，1b5，当10a17时，若a10，则费用为10010+100b0.81200，得b2.5，b的最大值是2，此时a+b12，费用为1160元；若a11，则费用为10011+100b0.81200，得bb的最大值是1，此时a+b12，费用为1180元；若a12，100a1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1a10时，若a9，则费用为1009+100b0.8+10010.61200，得b3，b的最大值是3，a+b12，费用为1200元；若a8，则费用为1008+100b0.8+10020.61200，得b3.5，b的最大值是3，a+b111
22、2，不合题意，舍去；同理，当a8时，a+b12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少18. (2019 河南省)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的,请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【解析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意，得，A的单价30元，B的单价15元；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30z）个，购买奖品的花费为W元，由题意可知，z(30z），zW30z+15（30z）450+15z，当z8时，W有最小值为570元，即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少.