1、河南省九师联盟2020-2021学年高二数学上学期1月联考试题 理考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4本卷命题范围：选修2-1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D
2、，2抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD3关于的方程有正实数解的一个必要不充分条件是（ ）ABCD4已知双曲线：（，），直线：与双曲线仅有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D5在正方体中，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD6已知椭圆的离心率为，则实数的值为（ ）A2B3C3或D2或7若“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）ABCD8设曲线的方程，给出关于曲线的性面结论：曲线关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；曲线上的所有点均在椭圆内部下面判断止确的是（ ）A错误正确B正确错误C都错误D都正确9如图，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若
3、点为的中点，且，则（ ）A4BC6D910以为圆心，4为半径的圆与抛物线：相交于，两点，如图，点是优弧上不同于，的一个动点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（ ）ABCD11以下四个关于双曲线的命题：设，为两个定点，为正数，若动点使，则动点的轨迹是双曲线；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点；若双曲线：的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若，则或其中真命题的个数为（ ）A1B2C3D412已知椭圆1上存在两个不同的点，关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13王安石在游褒禅山记中写道世之奇伟
4、、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的_条件（填“充分”“必要”“充要”中的一个）14双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为_.15如图，二面角为，过，分别作的垂线，垂足分别为，若，则的长度为_16已知抛物线：焦点为，准线方程，直线与抛物线交于，两点，连接并延长交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知：方程对应的图形是双曲线；：函数的最大值不超过2若为真命题，为假命题，求实数的取值范围18如图，在四棱锥中，平面，是的中
5、点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值19已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是（1）求双曲线的方程；（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，的面积为，求实数的值20在二棱柱中，平面平面，四边形为菱形，且，分别是棱，的中点，（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求到平面的距离21以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点已知，（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于不同的两点，交直线于点（在之间），直线交直线于点是否存在这样的直线，使得（为的焦点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由22已知，是椭圆：（
6、的左、右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为，的中点，直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆分别相交于，两点，且与圆：相交于，两点，求的取值范围联盟20202021学年高二1月联考理科数学参考答案1B全称命题的否定是特称命题，改成，改成故选B2A由得，则，且焦点在轴正半轴上，所以焦点坐标是故选A3A因为，当时，故关于的方程有正实数解的充要条件是，所以选项B，C，D都是方程有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，故选A4C由题意知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点，则与双曲线的一条渐近线平行，所以，所以故选C5D以，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系设正
7、方体的棱长为2，则，显然平面，所以是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值为，故所求角的余弦值为故选D6C当焦点在轴上时，所以，解得；当焦点在轴上时，所以，解得故选C7B因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，即存在，使成立又等号仅当，即时成立，所以只要，解得故选B8D利用研究曲线方程的方法易知正确，在曲线上，即曲线在一个矩形内，易判断该矩形在椭圆内部，故正确故选D9A因为点为的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以故选A10A易知圆心也是抛物线的焦点，设与抛物线的准线交于点，根据抛物线的定义，可得，故的周长设点的坐标为，由解得即由于点不与、两点重合，也不在轴上，所以的取值范围为，所
8、以的周长的取值范围为故选A11B对于，为两个定点，为正数，当时，动点的轨迹是两条射线，故错误；对于，方程的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；对于，双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故正确；对于，因为，所以，所以点在双曲线的左支，所以，即，所以，故错误故正确的命题有故选B12D依题意，设直线的方程是，代入椭圆方程化简得，设，的中点是，则，解得，又，所以，因为的中点在直线上，所以，所以，所以，解得故选D13必要因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件14不妨设点在第一象限，根据题意可知，所以，又，所以153因为，所以
9、，又因为二面角为，所以，所以1616因为抛物线：的准线方程，所以，所以，所以抛物线的方程是不妨设，由抛物线定义得因为，所以，所以，当且仅当时取等号所以当最大时，为等边三角形，此时，关于轴对称，不妨设，联立消去，得，所以，所以所以17解：对于，因为方程对应的图形是双曲线，所以，解得或所以若为真命题，则或对于：当时，解得，所以；当时，解得，所以；当时，所以所以若为真命题，则若为真命题，为假命题，则，一真一假若真假，则实数满足解得或；若假真，则实数满足解得综上所述，所求实数的取值范围为18（1）证明：因为平面，平面，所以又，是的中点，所以又，都在平面内，且，所以平面（2）解：因为平面，平面，平面，所
10、以，又因为，以，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系则，所以，设平面的法向量，则即令，则，所以又因为平面，所以是平面的一个法向量，所以由图可知二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值是19解：（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，所以可设双曲线的方程是，则，解得所以双曲线的方程是（2）由消去整理，得由题意知解得且设，则，因为与双曲线的交点分别在左、右两支上，所以，所以，所以，则所以，即，解得或，又，所以20解：取的中点，连接，则，又，所以，由题意知为等边三角形，又点为的中点，所以因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，4分所以，两
11、两垂直，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系（如图），则，所以，（1）设异面直线和所成角为，则（2）设平面的法向量为，则即令，得，所以，所以点到平面的距离21解：（1）设圆的方程为，可设，代入得，代入，得，抛物线的准线方程为，可设，代入，得解得（舍去）抛物线的方程是（2）的焦点的坐标，显然直线与坐标轴不垂直，设直线的方程为，联立消去得由，解得，且由韦达定理得，方法一：直线的方程为，又，所以，所以，直线与直线的斜率相等又，整理得，即，化简得，即，整理得，解得经检验，符合题意这样的直线存在，且直线的方程为或，即或方法二：，整理得，整理得解得，经检验，符合题意这样的直线存在，且直线的方程为或，即或22解：（1）在中，令，得右焦点的坐标是，所以设，则，两式相减得，又的斜率为，所以，所以，所以解得所以椭圆的方程为（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易求，的坐标为，的坐标为，所以，若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立消去整理得，则，所以因为圆心到直线的距离，所以，所以因为，所以综上，的取值范围是
