1、热点11 三角形【命题趋势】首先说明三角形是中考必考内容，而且也是热点内容，无论是小题还是大题因为三角形包括的内容很多，例如三角形的基本知识（内角和定理推论、三边关系）、三角形的三线（角平分线、中线、高线）五心（内心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形）的性质及判定方法，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重，它是我们计算线段长度的最重要的工具，所以这是考查的重点中的重点。【满分技巧】一、利用思维导图的方式整理有关三角形的相关内容有关三角形的内容非常
2、多，利用思维导图的方式可以很好地整理和归纳本部分内容，让这部分知识在我们的大脑中能形成一个完整的知识网络，这可以让我们在做题时可以快速地在大脑中搜索这部分知识二、总结与三角形有关的基本模型 （1）有关三角形全等模型（2）有关三角形相似的模型：A字型，反A字型，8字型，反8字型，母子型，一线三等角型，一线三直角型，【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.如图，在ABC中，B=90，tanC=，AB=6cm动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，PBQ的最大面积是（）A18
3、cm2B12cm2C9cm2D3cm2【答案】C【解析】tanC=，AB=6cm，=，BC=8，由题意得：AP=t，BP=6t，BQ=2t，设PBQ的面积为S，则S=BPBQ=2t（6t），S=t2+6t=（t26t+99）=（t3）2+9，P：0t6，Q：0t4，当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，PBQ的最大面积为9cm2；故选C2.如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的中点，如果ADE的周长是6，则ABC的周长是（ ） A6 B12 C18 D24【答案】B【解析】因为DE/BC，所以ADEABC，k=,所以ABC的周长为123.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B
4、为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）AAE=ECBAE=BECEBC=BACDEBC=ABE【答案】C【解析】AB=AC，ABC=ACB，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，BE=BC，ACB=BEC，BEC=ABC=ACB，A=EBC，故选C4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A20B24CD【答案】B【解析】设小正方形的边长为x，a=3，b=4，A
5、B=3+4=7，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即（3+x）2+（x+4）2=72，整理得，x2+7x12=0，解得x=或x=（舍去），该矩形的面积=（+3）（+4）=24，故选：B5.如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若ADE的面积为4，则ABC的面积为（）A8B12C14D16【答案】D【解析】在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE的面积为4，ABC的面积为：16，故选：D6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（）AADBACDFCABED
6、DBFEC【答案】A【解析】选项A、添加AD不能判定ABCDEF，故本选项正确；选项B、添加ACDF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加ABDE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误故选：A7.已知M、N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且A
7、CB90，故选：B8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A2cm，3cm，4cmB1cm，2cm，3cmC3cm，4cm，5cmD4cm，5cm，6cm【答案】B【解析】A、2+34，能构成三角形，不合题意；B、1+23，不能构成三角形，符合题意；C、4+35，能构成三角形，不合题意；D、4+56，能构成三角形，不合题意故选：B9.已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A4个B5个C6个D7个【答案】D【解析】若n+2n+83n，则，解得，即4n10，正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；若n+23nn+8，则，解得，即2n4，正整数
8、n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D10.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是A1BC2D【答案】C【解析】由作法得平分，点到的距离等于的长，即点到的距离为1，所以的面积故选：11.满足下列条件时，ABC不是直角三角形的为（）AAB，BC4，AC5BAB：BC：AC3：4：5CA：B：C3：4：5D|cosA|+（tanB）20【答案】C【解析】A、，ABC是直角三角形，错误；B、（3x）2+（4x）29x2+16x225x2（5x）2，ABC是直角三角形，错误；C、A：B
9、：C3：4：5，C，ABC不是直角三角形，正确；D、|cosA|+（tanB）20，A60，B30，C90，ABC是直角三角形，错误；故选：C12.如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则ACE的周长为（ ）A.8 B.11 C.16 D.17【答案】B【解析】因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，所以BC=BE+CE=AE+CE=6又AC=5所以ACE的周长为5+6=11故选B13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形
10、内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2a2+b2，阴影部分的面积c2b2a（cb）a2ac+aba（a+bc），较小两个正方形重叠部分的长a（cb），宽a，则较小两个正方形重叠部分底面积a（a+bc），知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C14.如图，在中，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为ABCD【答案】C【解析】由作法得，平分，故选：15.如图，点D在BC的
11、延长线上，DEAB于点E，交AC于点F若A35，D15，则ACB的度数为（）A65B70C75D85【答案】B【解析】DEAB，A35AFECFD55，ACBD+CFD15+5570故选：B二、填空题16.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为【答案】6或或【解析】如图1当，则，底边长为6；如图2当，时，则，此时底边长为；如图当，时，则，此时底边长为故答案为：6或或17.如图，在RtABC中，ACB90，B60，DE为ABC的中位线，延长BC至F，使CFBC，连接FE并延长交AB于点M若BCa，则FMB的周长为 【答案】【解析】在RtABC中，B60，A30，AB2a，ACaDE是中位线，CE
12、a在RtFEC中，利用勾股定理求出FEa，FEC30AAEM30，EMAMFMB周长BF+FE+EM+BMBF+FE+AM+MBBF+FE+AB故答案为18.如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积是 【答案】8【解析】DCBC，BCD90，ACB120，ACD30，延长CD到H使DHCD，D为AB的中点，ADBD，在ADH与BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90，ACH30，CHAH4，CD2，ABC的面积2SBCD2428，故答案为：819.如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么度【
13、答案】120【解析】是斜边的中点，故答案为12020.等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为 cm由题意知，应分两种情况：【答案】32【解析】（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+613，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长213+632cm故答案为32三、证明题21.已知：如图，ABC是任意一个三角形，求证：A+B+C=180【证明】：过点A作EFBC，EFBC，1=B，2=C，1+2+BAC=180，BAC+B+C=180，即A+B+C=18022.如图，在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若a6，b
14、8，c12，请直接写出A与B的和与C的大小关系；（2）求证：ABC的内角和等于180；（3）若，求证：ABC是直角三角形【解】：（1）在ABC中，a6，b8，c12，A+BC；（2）如图，过点A作MNBC，MNBC，MABB，NACC（两直线平行，同位角相等），MAB+BAC+NAC180（平角的定义），B+BAC+C180（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180；（3），ac（a+b+c）（ab+c）（a2+2ac+c2）b2，2aca2+2ac+c2b2，a2+c2b2，ABC是直角三角形23.已知，在如图所示的“风筝”图案中，求证：【证明】：，且，24.如图，等腰直角三角板如图放置
15、直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE直线m于点E，BD直线m于点D求证：ECBD；若设AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理【证明】：ACB90，ACE+BCD90ACE+CAE90，CAEBCD在AEC与BCD中，CAEBCD（AAS）ECBD；解：由知：BDCEaCDAEbS梯形AEDB（a+b）（a+b）a2+ab+b2又S梯形AEDBSAEC+SBCD+SABCab+ab+c2ab+c2a2+ab+b2ab+c2整理，得a2+b2c225.如图，已知：在ABC中，BAC90，延长BA到点D，使ADAB，点E，F分别是边BC，AC的中点求证：DFBE【证明】：BAC90，
16、DAF90，点E，F分别是边BC，AC的中点，AFFC，BEEC，FE是ABC的中位线，FEAB，FEAB，EFCBAC90，DAFEFC，ADAB，ADFE，在ADF和FEC中，ADFFEC（SAS），DFEC，DFBE四、作图题26.如图，已知等腰顶角（1）在上作一点，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：是等腰三角形（1）解：如图，点为所作；（2）证明：，是等腰三角形五、应用题27.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌
17、声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）解：在RtBCD中，BD=9米，BCD=45，则BD=CD=9米在RtACD中，CD=9米，ACD=37，则AD=CDtan3790.75=6.75（米）所以，AB=AD+BD=15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.752.25=13.5（米），因为耗时45s，所以上升速度v=0.3（米/秒）答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升28.在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面积根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”
18、，建立方程模型求出x作ADBC于D，设BD = x，用含x的代数式表示CD利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程 【解】：如图，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设，由勾股定理得：， ，解之得： 六探究题29.如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转（090），得到图，AE与MP、BD分别交于点G、H请判
19、断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明【解析】（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），AE=BD，EAC=CBD，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，PM=BD，PN=AE，PM=PM，NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90，MPA+NPC=90，MPN=90，即PMPN；（2）ACB和ECD是等腰直角三角
20、形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDACEBCDAE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD，BHO=ACO=90点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，PM=BD，PMBD；PN=AE，PNAEPM=PNMGE+BHA=180MGE=90MPN=90PMPN （3）PM=kPN ACB和ECD是直角三角形，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDBC=kAC，CD=kCE，=kBCDACEBD=kAE 点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，PM=BD，PN=AEPM=kPN30.已知：如图，ABC，射线BC上一点D求作：等腰PBD，使线段BD为等腰PBD的底边，点P在ABC内部，且点P到ABC两边的距离相等【解析】：点P在ABC的平分线上，点P到ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），点P在线段BD的垂直平分线上，PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：