1、2015-2016学年湖南省益阳市箴言中学高二（下）月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB2“x1”是“|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3 =（）A1+2iB1+2iC12iD12i4在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）=1的距离是（）AB3C1D25以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）Ay2=4
2、xBCD6已知双曲线=1（a0）的离心率为2，则实数a=（）A2BCD17如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）AB3CD8设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t则（）A若t确定，则b2唯一确定B若t确定，则a2+2a唯一确定C若t确定，则sin唯一确定D若t确定，则a2+a唯一确定9已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为（）A4B3C2D110如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作
3、直线EC的垂线，垂足为D若AB=4，CE=2，则AD=（）A3B6C2D411如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD12已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f（x）当x0时，f（x）+0若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）AabCBbcaCcabDacb二、填空题：本大题共4小题，每小题5分满分20分13复数i（1+i）的实部为14如图
4、，ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=15在极坐标系中，直线=（R）被圆=4COS截得的弦长为16设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表：优秀非优秀合计甲20525乙101525合计302050（1）用分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽多少人？（2）计算出统计量k
5、2，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关”？下面的临界值表代参考：P（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式k2=其中n=a+b+c+d18已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值19如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O
6、的直径20在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（2，4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值21如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2，CF=2，求AE的长22已知函数f（x）=lnxa（x1）（1）若函数f（x）在（1，+）是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，
7、当nN*时，证明：（1+）（1+）（1+）（1+）e（其中（e2.718即自然对数的底数）2015-2016学年湖南省益阳市箴言中学高二（下）月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【考点】命题的否定；特称命题【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xA，2xB 的否定是：
8、p：xA，2xB故选C2“x1”是“|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【考点】充要条件【分析】解绝对值不等式，进而判断“x1”“|x|1”与“|x|1”“x1”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案【解答】解：当“x1”时，“|x|1”成立，即“x1”“|x|1”为真命题，而当“|x|1”时，x1或x1，即“x1”不一定成立，即“|x|1”“x1”为假命题，“x1”是“|x|1”的充分不必要条件故选A3 =（）A1+2iB1+2iC12iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可【解答】解：化简可
9、得=1+2i故选：B4在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）=1的距离是（）AB3C1D2【考点】简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解【解答】解：在极坐标系中，点（2，）化为直角坐标为（，1），直线sin（）=1化为直角坐标方程为xy+2=0，（，1）到xy+2=0的距离d=1，即为点（2，）到直线sin（）=1的距离1，故选：C5以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）Ay2=4xBCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，从而便有，这样求出p带入y2
10、=2px便可得出抛物线方程【解答】解：根据双曲线的方程知，该双曲线的中心为原点，右焦点为（，0）；抛物线方程可设为y2=2px；抛物线方程为故选：B6已知双曲线=1（a0）的离心率为2，则实数a=（）A2BCD1【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a【解答】解：由题意，e=2，解得，a=1故选D7如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）AB3CD【考点】与圆有关的比例线段【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可【解答】解：由相交弦定理可得CMMD=AM
11、MB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又CNNE=ANNB，3NE=42，NE=故选：A8设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t则（）A若t确定，则b2唯一确定B若t确定，则a2+2a唯一确定C若t确定，则sin唯一确定D若t确定，则a2+a唯一确定【考点】四种命题【分析】根据代数式得出a2+2a=t21，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案【解答】解：实数a，b，t满足|a+1|=t，（a+1）2=t2，a2+2a=t21，t确定，则t21为定值sin2b=t2，A，C不正确，若t确定，则a2+2a唯一确定，故选：B9已知函数f（x）=axlnx，x（0，
12、+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为（）A4B3C2D1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x），根据f（1）=3，列出方程解出a【解答】解：f（x）=alnx+a，f（1）=3，a=3故选：B10如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D若AB=4，CE=2，则AD=（）A3B6C2D4【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接OC，则OCDE，可得，由切割线定理可得CE2=BEAE，求出BE，即可得出结论【解答】解：连接OC，则OCDE，ADDE，ADOC，由切割线定理可得CE2=
13、BEAE，12=BE（BE+4），BE=2，OE=4，AD=3故选：A11如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】解：圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD对应劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD，
14、FBD=BAFAD是BAC的平分线，BAF=DACDBC=FBD即BD平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，FB2=FDFA即结论成立由，得AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故答案为D12已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f（x）当x0时，f（x）+0若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）AabCBbcaCcabDacb【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f（x）+0当x0时，xf（x）+f（x）0，当x0时，xf（x）+f（x）0，判断单调性
15、即可证明a，b，c 的大小【解答】解：定义域为R的奇函数y=f（x），F（x）=xf（x）为R上的偶函数，F（x）=f（x）+xf（x）当x0时，f（x）+0当x0时，xf（x）+f（x）0，当x0时，xf（x）+f（x）0，即F（x）在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减F（）=a=f（）=F（ln），F（2）=b=2f（2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），lnln22，F（ln）F（ln2）F（2）即acb故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分满分20分13复数i（1+i）的实部为【考点】复数的基本概念【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可【解
16、答】解：复数i（1+i）=1+i，所求复数的实部为：1故答案为：114如图，ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=【考点】与圆有关的比例线段【分析】证明AEFACB，可得，即可得出结论【解答】解：由题意，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，AEF=C，EAF=CAB，AEFACB，BC=6，AC=2AE，EF=3故答案为：315在极坐标系中，直线=（R）被圆=4COS截得的弦长为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】由于圆=4cos经过极点，把直线=（R）代入圆=4cos，即可得出截得的弦长【解答】解：由于圆=4cos经过极点，把直线
17、=（R）代入圆=4cos，可得：截得的弦长=4cos=2，故答案为：216设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=2a+|MF2|，由此可得结论【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=10+|PM|PF2|10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，故答案为：15三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步
18、骤17某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表：优秀非优秀合计甲20525乙101525合计302050（1）用分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽多少人？（2）计算出统计量k2，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关”？下面的临界值表代参考：P（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式k2=其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用【分析】（1）分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽=
19、4人；（2）利用公式计算K2=8.3337.879，即可得出结论【解答】解：（1）分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽=4人；（2）利用公式计算K2=8.3337.879，故按95%可靠性要求认为“成绩与班级有关”18已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值【考点】圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表
20、示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（4，3），半径1的圆；把C2：（为参数）化为普通方程得： +=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（4，4
21、），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x2y7=0，设Q的坐标为Q（8cos，3sin），故M（2+4cos，2+sin）所以M到直线的距离d=，（其中sin=，cos=）从而当cos=，sin=时，d取得最小值19如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O的直径【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）根据直径的性质即可证明：CBD=DBA；（）结合割线定理进行求解即可求O的直径【解答】证明：（）DE是O的直径，则BED+EDB=90，BCDE，CBD+EDB=90，即CBD=BED，AB切O于点B，DBA=
22、BED，即CBD=DBA；（）由（）知BD平分CBA，则=3，BC=，AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=ADAE，即AE=，故DE=AEAD=3，即可O的直径为320在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（2，4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程
23、组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值【解答】解：（1）曲线C：sin2=2acos（a0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：xy2=0（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1t2|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，由得：a=121如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2
24、，CF=2，求AE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）如图所示，连接BE由于AE是O的直径，可得ABE=90利用E与ACB都是所对的圆周角，可得E=ACB进而得到ABEADC，即可得到（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF再利用AFCCFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sinACD=sinAEB，AE=，即可得出答案【解答】证明：（I）如图所示，连接BEAE是O的直径，ABE=90又E与ACB都是所对的圆周角，E=ACBADBC，ADC=90ABEADC，AB：AD=AE：AC，ABAC=ADAE又AB=BC，BCAC=ADAE解：（II）CF是O的切线，CF2=
25、AFBF，AF=2，CF=2，（2）2=2BF，解得BF=4AB=BFAF=2ACF=FBC，CFB=AFC，AFCCFB，AF：FC=AC：BC，AC=cosACD=，sinACD=sinAEB，AE=22已知函数f（x）=lnxa（x1）（1）若函数f（x）在（1，+）是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，当nN*时，证明：（1+）（1+）（1+）（1+）e（其中（e2.718即自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）根据函数单调性与导数之间的关系，可得f（x）=a0在区间（1，+）上恒成立，结合x1加以讨论可得实数a的取值范围为1，+）；（2）由
26、（1）知：当a=1时f（x）在（1，+）上单调递减，可得lnxx1在（1，+）上成立，由此令x=1+得ln（1+），分别取n=1，2，3，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出【解答】解：（1）函数f（x）在（1，+）是单调减函数，f（x）=a0在区间（1，+）上恒成立x1，可得01，a1，即实数a的取值范围为1，+）（2）证明：由（1）得当a=1时，f（x）在（1，+）上单调递减，f（x）=lnx（x1）f（1）=0，可得 lnxx1，（x1），令x=1+，可得ln（1+）分别取n=1，2，3，n得ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+=11，即ln（1+）（1+）（1+）（1+）lne，可得（1+）（1+）（1+）（1+）e，对任意的nN*成立2016年10月11日
