1、第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题 一解答题（共24小题）1（2021常熟市校级期中）已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1椭圆上有两个不同的点，关于直线对称（1）求椭圆的方程；（2）求实数的取值范围；（3）求面积的最大值为坐标原点）【解答】解：（1）离心率，焦点到相应准线的距离为，所以，故椭圆的方程为：，（2）直线的方程为：，联立解方程组，消去得，设，所以，所以线段的中点，代入直线，注意其中，得，结合，得，即，得，所以，故或者，（3），到的距离，故2（2021扶沟县校级模拟）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点（）若，求的值；（）
2、求四边形面积的最大值【解答】解：（）依题设得，椭圆的方程为，直线，的方程分别为，如图，设，其中，且，满足方程，故 由，知，得；由在上知，得，化简得，解得或；（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点，到的距离分别为，又，四边形的面积为，当，即当时，上式取等号的最大值为解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号的最大值为3（2021江北区校级模拟）过抛物线的对称轴上一点，的直线与抛物线相交于，两点，自，向直线作垂线，垂足分别为，（1）当时，求证：；（2）记，的面积分别为，是否存在，使得对任意的，均有成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）当时，如图所示设，
3、则，则，设直线的方程为，联立，化为代入可得；（2）假设存在，使得对任意的，均有成立设，则，不妨设设直线，联立，化为成立，同理，解得故存在，使得对任意的，均有成立4（2021春武陵区校级月考）如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧记，的面积为，（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；（2）求的最小值及此时点的坐标【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为，由已知设直线的方程为，与抛物线联立可得，所以，则线段，则以线段为直径的圆的半径为8，故圆的面积为；（2）设，重心，令，则，由直线过点，故直线的方程为，代
4、入，可得，所以，即，所以，又由于，重心在轴上，故，所以，所以直线的方程为，可得，由于点在焦点的右侧，故，故，令，则，所以，当且仅当，即时，取得最小值，此时5（2021上城区校级期中）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线与直线的倾斜角互补；（3）当时，求面积的最大值【解答】解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明：设过的直线方程为，即有，联立直线和抛物线可得，可得，则，由的重心在轴上，可得，即，即有，当直线的斜率不存在时，求得，的坐标，可得则直线与直线的倾斜角互补；
5、（3）由（2）可得，可得，解得，由抛物线的定义可得，由，即，即，的坐标为，到直线的距离为，可得的面积为，由，可得，设，则，由，则在递减，可得；当直线的斜率不存在时，设，可得，的面积为，可得的面积的最大值为26（2021浙江月考）如图，已知抛物线与圆有四个不同的公共点，（）求的取值范围；（）求四边形面积的最大值【解答】解（）联立，得由题可知，在上有两个不同的解，得，；（）设，由韦达定理可知，又，令，则，此时记，当时，当时，在上单调递增，在单调递减，得四边形的最大值为7（2021春浙江期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合，且抛物线经过点，为坐标原点（）求椭圆和抛物线的标准方程；
6、（）已知直线与抛物线交于、两点，与椭圆交于、两点，且直线平分，求首尾顺次连结、四点所得图形的面积的取值范围【解答】解：（）由抛物线经过点，可得，解得，故抛物线的标准方程为；所以抛物线的焦点为，则，又椭圆的离心率，解得，所以椭圆的标准方程为（）将直线的方程代入，消去并整理可得，由题意知，即，设直线、的斜率分别为、，因为直线平分，所以，设，则，则，解得，故，所以直线且，联立方程组，消并整理可得，依题意，解得，所以且，设，则，则，且、到的距离分别，当时，当时，综上所述，8（2021麒麟区校级模拟）已知椭圆的短轴端点与抛物线的交点重合，椭圆的离心率为（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）设是抛物线准线上的
7、一个动点，过作抛物线的切线，为切点（）求证：直线经过一个顶点；（）若直线与椭圆交于，两点，椭圆的下顶点为，求面积的最大值【解答】解：（1）由椭圆的离心率，由，则，所以，由抛物线的焦点为，则，则，所以椭圆方程为，抛物线方程为；（2）（）证明：抛物线的准线为，设，则，由，求导，则，所以的方程为，将代入可得的方程：，过点，代入得，由过点，同理可得，则直线，故直线恒过定点；（）由题意得直线斜率存在且不为0，设直线，代入椭圆，得，所以或，则，即有，当时，取得最大值，所以，面积的最大值2，此时直线的斜率，的方程为9（2021浙江模拟）已知椭圆和抛物线，点为第一象限中抛物线上的动点，过作抛物线的切线分别交轴
8、、轴于点、，为抛物线的焦点（）求证：平分；（）若直线与椭圆相切于点，求面积的最小值及此时的值【解答】解：（）证明：设，与抛物线联立得：，由题意知，即而的横坐标，的横坐标，所以为 的中点，由到焦点的距离等于到准线的距离可知，所以平分（）直线与椭圆联立得：，由条件知，即，由（1）知，可得：，又因为，所以， 的横坐标，所以 面积，令，（当 即 时取等），所以 面积的最小值是2，此时10（2021菏泽二模）已知椭圆C1：+1（ab0）的离心率为e，且过点（1，）抛物线C2：x22py（p0）的焦点坐标为（0，）（）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（）若点M是直线l：2x4y+30上的动点，过点M作抛物线
9、C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程【解答】解：（I）由于椭圆C1中，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得1故椭圆C1的方程为抛物线C2中，抛物线C2：x22py（p0）的焦点坐标为（0，），故p1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x22y（II）（i）证明：x22y，y，yx，设点M（x0，y0），且满足2x04y0+30，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为x1，从而MA的方程为yx1（xx1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+
10、y10，同理切线MB的方程为x2x+y+y20，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y00上又点M在直线2x4y+30上，则2x04y0+30，故直线AB的方程为（4y03）x+2y+2y00，即y0（4x+2）+（2y3x）0，直线AB过定点（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y00，则联立方程，消去y并简化得，从而，从而，点O到PQ的距离，从而，当且仅当，即，又由于2x04y0+30，从而消去x0得，即，解得，从而或，所求的直线为x+2y+20或x14y10011（2021安徽）如图，
11、已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与，分别交于、两点，与、分别交于、两点（）证明：；（）过作直线（异于，与、分别交于、两点记与的面积分别为与，求的值【解答】（）证明：由题意可知，和的斜率存在且不为0，设，联立，解得联立，解得联立，解得联立，解得，；（）解：由（）知，同（）可证，因此，又，故12（2021柯桥区期末）如图，为椭圆的左、右焦点点满足：延长，分别交椭圆于，两点，且的重心在椭圆直线交于点（1）若，是椭圆长轴的两个端点，求直线，的斜率之积；（2）设，的面积分别为，求的最小值【解答】解：（1）设，由题意可知，则，（4分）因为在椭圆，所以，所以（7分）（2），设，又因为，三点共线，故可知
12、，（9分）因为点为的重心，所以，令，（12分），（14分）当且仅当时，取得最小值（15分）13（2021浙江模拟）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线截以为直径的圆所得的弦长为定值（）求的值；（）如图，直线交轴于点，抛物线上的点满足的中垂线过点且直线不与轴平行，求的面积的最大值【解答】解：（），设截得的弦为，圆心到弦的距离为则，（）由上题可得，设，线段中点为，直线的斜率存在且不等于0，设直线，联立直线与抛物线方程得：，记，时，单调递增，时，单调递减，时，的最大值为此时，的最大值为14（2021闵行区校级模拟）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线为常数）截以为直径的圆
13、所得的弦长为定值（1）求焦点的坐标；（2）求实数的值；（3）若点，过点的直线交抛物线于另一点，的中垂线过点，求的值和的面积【解答】解：（1）抛物线，即，（2）设点，的中点为，直径，设截得得弦为，圆心到弦的距离为，则，得与无关，所以（3）设，线段的中点为，联立，符合，点到的距离为，15（2021江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，所以的周长（2）由椭圆方程得，设
14、，则直线方程为，椭圆的右准线为：，所以直线与右准线的交点为，当时，（3）若，设到直线距离，到直线距离，则，即，可得直线方程为，即，所以，由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，所以，即或12，当时，直线为，即，联立，可得，即或，所以或，当时，直线为，即，联立，可得，所以无解，综上所述，点坐标为或，16（2021广东月考）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积【解答】解：（1）因为离心率为，过椭圆的焦
15、点且与长轴垂直的弦长为1，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）因为椭圆的方程为，所以，设，则，即，则直线的方程为，令，得，同理，直线的方程为，令，得，所以，所以四边形的面积为定值217（2021新课标）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积【解答】解：（1）证明：的导数为，设切点，即有，切线的方程为，即为，切线的方程为，联立两切线方程可得，可得，即，直线的方程为，即为，可化为，可得恒过定点；（2）法一：设直线的方程为，由（1）可得，中点，由为切点可得到直线的距离即为，可得，解得或，即有直线的
16、方程为或，由可得，四边形的面积为；由，可得，此时到直线的距离为；到直线的距离为，则四边形的面积为；法二：（2）由（1）得直线的方程为由，可得于是，设，分别为点，到直线的距离，则，因此，四边形的面积设为线段的中点，则由于，而，与向量平行，所以解得或当时，；当时，综上，四边形的面积为3或18（2021浙江模拟）已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标
17、，则，抛物线的标准方程为，焦点（2）设，由，得点在直线上，且，且四边形的面积，由，得，则，因为，所以，由，的斜率分别为，由图知必过点，可设，且，故直线，令，则直线，代入椭圆方程，得，点 到的距离，四边形的面积，当且仅当时，面积最大为19（2021春浙江月考）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，过点作抛物线的切线与轴相交于点，直线交抛物线另一点为，线段交轴于点记，的面积分别为，（）若，求；（）求的最小值【解答】解：（）直线的方程为，代入抛物线方程，得设，则，（）设直线的方程为，代入抛物线方程得，设，点的坐标为设切线的方程为，代入抛物线方程，得，得，令，得，所以
18、点的坐标为，设直线的方程为，代入抛物线方程得，所以点的坐标为，直线的方程为，即，令，得，所以点的坐标为，由，知，令，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为20（2021浙江月考）设抛物线的焦点为，为抛物线上的两点不经过焦点，且直线斜率存在，若的中垂线恰好经过（）求的值；（）若的中垂线交轴于点，求面积与面积之和的最大值【解答】解：（）设直线的方程为，联立抛物线的方程，消去得，所以，则的中点的坐标为，的中垂线方程为将点代入的中垂线方程，得，即，所以（）由（）知的中垂线方程为，所以点设的面积为，的面积为，由（）可得，点到的距离为，点到的距离为，所以由及得，且，所以当时，令，则，令函数，则，所以当时
19、，单调递增；当时，单调递减，所以的最大值为；当时，令，则令函数，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以的最大值为因为，所以的最大值为，即和的面积之和的最大值为21（2021温州模拟）如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于，和，（其中，在轴的上方），交轴于点（）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；（）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程【解答】解：（）证明：设直线的方程为，的方程为，所以联立，得，所以，所以点、点的纵坐标乘积为定值（）由（）可知，联立，得，所以，即，因为，所以，又因为，所以，所以，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以
20、，又因为，所以，所以，设直线的方程为，联立，得，所以，联立，解得，所以，将代入得，所以直线的方程为22（2021浙江模拟）如图，已知椭圆，离心率为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，为的内心，连接，延长交轴于点（）求椭圆的方程；（）设，的面积分别为，求的取值范围【解答】解：因为离心率为，故，又因为为椭圆的左右焦点，故，所以椭圆（）因为为的内心，故为各内角角平分线交点，故根据角平分线定理可知，设，以，为底边的高为，设，为椭圆上一动点，且构成三角形，故，23（2012秋三元区校级月考）已知椭圆的离心率，直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆，圆心为（）求椭圆的方程；（）当圆与轴相切的时候，
21、求的值；（）若为坐标原点，求面积的最大值【解答】解：（）椭圆的离心率，解得，故椭圆的方程为（）联立方程，得，即，的坐标分别为，圆的直径为，且与轴相切，（）由（）得的面积，当且仅当即时，等号成立，故的面积的最大值为124（2021绍兴期中）已知椭圆和抛物线，点为的左焦点，点为的焦点（）过点的直线与相切于点，若，求抛物线的方程（）过点的直线交于，两点，点满足为坐标原点），且点在线段上记的面积为，的面积为，求的取值范围【解答】解：由题可知：设直线的方程为：，联立可得：则，故且，即点故，所以，抛物线的方程：【其他方法也可：设点，则在点处的切线方程为，即，由于该切线经过点，故，即，故，】设点，直线方程为：，联立可得：故，从而，又，则，从而，且，则，从而，由此可得