1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时等差数列的前n项和公式的性质及应用内容标准学科素养1.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用2.能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想.发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第32页基础认识知识点与等差数列的前n项和Sn有关的性质知识梳理(1)等差数列的依次每k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列(2)若等差数列的项数为2n(nN*)，则S2nn(anan1)(an，an1为中间两项)且S偶S奇nd，.若项数为2n1，则S2n1(2n1)an(an为中间项)且S奇S偶an，.自我检测1记等差数列的前n项和为Sn，若
2、S24，S420，则该数列的公差d等于()A2B3C6 D7答案：B2已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为()A5 B5C2.5 D2.5答案：C授课提示：对应学生用书第32页探究一等差数列前n项和性质的应用教材P68复习参考题A组第10题在以d为公差的等差数列an中，设S1a1a2an，S2an1an2a2n，S3a2n1a2n2a3n.求证：S1，S2，S3也是等差数列，并求其公差思路：S2S1(an1a1)(an2a2)(a2nan)n2d.S3S2(a2n1an1)(a2n2an2)(a3na2n)n2d.例1(1)在等差数列an中，前n项和为Sn，则等于
3、()A.B.C. D.解析因为，故S4S22S2，因为S2，S4S2，S6S4，S8S6为等差数列，故四项可分别写成S2,2S2,3S2,4S2，故S810S2，S43S2，故.答案A(2)已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有，则()A. BC. D.解析因为等差数列中，若mnpq，则amanapaq；等差数列的前n项和为：Sn.所以所以.答案A方法技巧等差数列前n项和的有关性质在解题过程中，要根据题型及题设条件，恰当选用，达到化繁为简跟踪探究1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.解析：在等差数列中，Sm，
4、S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.2设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解析：设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，S77，S1575，即解得a1(n1)dn，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn(2)n2n.探究二与等差数列求和有关的裂项求和教材P47第4题数列的前n项和Sn.研究一下，能否找到Sn的一个公式，你能对这个问题作一些拓展吗？探究：Sn1.例2设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列
5、的前n项和解析(1)由已知a13a2(2n1)an2n，所以当n1时有a13a2(2n3)an12(n1)，所以两式作差可得：(2n1)an2，即an(n1，且nN*)，又因为n1时，a12符合，所以an(nN*)(2)设bn，则bn，所以数列的前n项和为Snb1b2bn11.延伸探究1.本例中若将条件改为“数列an的通项公式an2n1，bn”，试求数列bn的前n项和Tn.解析：因为bn，所以Tn.2本例中若将条件改为“an”，试求数列an的前n项和Sn.解析：因为an，所以Sn11.方法技巧裂项相消求和(1)适用数列：形如(bnand，d为常数)的数列可以用裂项求和(2)裂项形式：.(3)规
6、律发现：一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二是裂项后不是相邻项相消的，要写出前两组、后两组，观察消去项、保留项探究三等差数列的实际应用教材P46习题A组第3题为了参加长跑比赛，某同学制订了7天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑500 m，这个同学7天一共将跑多长的距离？解析：每天跑的距离成为一个等差数列ana15 000，d500.则S775 00050045 500 m.例3有两个加工资的方案：一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元如果在该公司工作10年，问：(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10年中
7、多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，问a取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？解析(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪1 0002 0003 00010 00055 000(元)依第二方案可得共加薪3003002300330043002063 000(元)，因此在公司工作10年，选择第二方案好，多加薪63 00055 0008 000(元)(2)到第n年年末，依第一方案可得共加薪1 000(12n)500n(n1)(元)依第二方案可得共加薪a(12342n)an(2n1)(元)由题意an(2n1)500n(n1)对一切nN*都成立，即a250，又因
8、为250250，所以a250.所以当a元时，总是选择第二方案比第一方案加薪多方法技巧应用等差数列解决实际问题的一般思路跟踪探究3.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解析：由题意知汽车逐趟(由远及近)往返运输行程组成一个等差数列，记为an，则an1 55023 100，d5032300，Sn17 500.由等差数列的通项公式及前n项和公式，得由得a13 400300n.代入得n(3 400300n)150
9、n(n1)17 5000，整理得3n265n3500，解得n10或n(舍去)，所以a13 40030010400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆31030(根)，最近的一趟往返行程400 m，第一根电线杆距离电站400100100(m)所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.授课提示：对应学生用书第34页课后小结(1)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设SnAn2Bn(A0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设anb(a0)进行计算(2)利用Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列进行求解(3)对于形如的数列，anbn都为等差数列，可采用裂项相消法求和
10、素养培优1等差数列奇偶性问题已知等差数列an共有(2n1)项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为()A.B.C. D.解析：等差数列an共有(2n1)项，那么奇数项有n项，偶数项有(n1)项，S奇nan，S偶(n1)an，所以.故选C.答案：C点评明确S奇、S偶的表达方法2含有(1)n类型的数列已知数列an满足：an1(1)nann2(nN*)，则S20()A130 B135C260 D270解析：an1(1)nann2，a2a13，a3a24，a4a35，a3a11，a2a49，同理可得a5a7a3a1a9a11a13a15a17a191.a6a817，a10a1225，a14a1633，a1
11、8a2041.an的前20项和S20(a1a3)(a17a19)(a2a4)(a6a8)(a18a20)5917253341130.故选A.答案：A点评注意(1)n中n的奇偶性的影响3含有(1)n型需讨论n的奇偶性问题数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；(2)若Tna1a2a3a4(1)n1an，求Tn.解析：(1)证明：由已知可得1，即1，是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得n，ann2，Tna1a2a3a4(1)n1an，当n为偶数时，设n2k，T2ka1a2a3a4a2k1a2k12223242(2k1)2(2k)2(21)
12、(21)(43)(43)(2k2k1)(2k2k1)(374k1)2k2k.Tn当n为奇数时，n1为偶数，Tn1.TnTn1(1)n1ann2.综上，Tn.点评注意讨论n的奇偶性对Tn的影响4隔项成等差数列问题若数列an满足：a11，anan14n，(1)求数列a2n1的前n项和；(2)求数列an的前2n1项和解析：(1)an1an4n，an2an14n4，得an2an4，则数列a2n1是以1为首项，4为公差的等差数列，数列a2n1的前n项和是n2n2n.(2)a1a24，a23，a2n是以3为首项，4为公差的等差数列数列an的前2n1项中，有a1，a3，a2n1共n项有a2，a4，a6，a2n2共n1项，其和S偶(n1)342n23n1，an的前2n1项和为(2n2n)(2n23n1)4n24n1.点评an的奇数项、偶数项分别成等差数列，但an不是等差数列- 9 - 版权所有高考资源网