1、重庆一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1复数（1+i）2的虚部是（）A0B2C2D2i2等差数列an的前n项和Sn，S3=6，公差d=3，则a4=（）A12B11C9D83已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x5认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A14B20C30D556已知平面向量，满足|=1，|=2，且（），则与的
2、夹角是（）ABCD7若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD8过点M（1，2）的直线l与圆C：（x3）2+（ y4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是（）Ax2y+3=0B2x+y4=0Cxy+1=0Dx+y3=09函数 f（x）=cos3x+sin2xcosx的最大值是（）AB1CD210如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD二、填空题（共5小题，每
3、小题3分，满分15分）11已知集合A=x|y=ln（3x），则AN=12设a0，10，则函数g（x）=在区间（0，+）内为增函数的概率为13实数x，y满足不等式组，则的取值范围是14若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是15已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）如果集合A=（x，y）|x2+y2=4，点P的坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D=P|d（P，A）1所表示的图形的面积为三、解答题（共6小题，满分75分）16已知数列an满足a2=5，且其前n项和Sn=pn2
4、n（）求p的值和数列an的通项公式；（）设数列bn为等比数列，公比为p，且其前n项和Tn满足T5S5，求b1的取值范围17现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率18如图，在ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cosADC=（1）求sinBAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长19如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，A
5、BAC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=A1B1（1）证明：无论取何值，总有AM平面PNQ（2）若AC=1，试求三棱锥PMNQ的体积20如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为设圆锥纸筒底面半径为r，高为h（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值21如图，过椭圆L的左顶点A（3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，ABM是直角三角形（）求椭圆L的标准方程；（）（
6、i）证明：存在实数，使得=；（ii）求|OP|的取值范围重庆一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1复数（1+i）2的虚部是（）A0B2C2D2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：直接展开两数和的平方运算，化简后求得复数（1+i）2的虚部解答：解：由（1+i）2=1+2i+i2=1+2i1=2i，复数（1+i）2的虚部为2故选：B点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2等差数列an的前n项和Sn，S3=6，公差d=3，则a4=（）A12B11C9D8考点：等差数列的性质 专题
7、：计算题分析：由等差数列的前n项和公式化简S3=6，利用等差数列的性质即可求出a2的值，然后利用等差数列的性质表示出a4，把公差d和求出的a2的值代入即可求出值解答：解：由S3=2a2=6，得到a2=3，则a4=a2+2d=3+6=8故选D点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题3已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：直线与圆；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条
8、件进行判断即可解答：解：若k=m=1时，两条直线重合，则l1l2不成立，若l1l2，则满足k=m1，即“k=m”是“l1l2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键4若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程解答：解：椭圆+=1（ab0）的离心率为，可得，可得，解得，双曲线=1的渐近线方程为：y=x故选：A点评：本题考查双曲线的简单性质的应
9、用，椭圆的基本性质，考查计算能力5认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A14B20C30D55考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i4，计算输出S的值即可解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i4，终止程序，输出S=30，故选：C点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答
10、此类问题的常用方法6已知平面向量，满足|=1，|=2，且（），则与的夹角是（）ABCD考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先由（），得到=1，再根据向量的夹角公式，计算可得解答：解：设向量则与的夹角为，0，（），（）=0，即（）2+=0，=1，cos=，=，故选：B点评：本题考查平面向量数量积的运算、夹角公式，属基础题7若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别柱体体积和锥体体积，相减可得答案解答：解：由已知中的
11、三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，其直观图如下图所示：柱体的底面面积S=8，高为4，体积为32，锥体的底面面积S=4，高为4，体积为，故组合体的体积V=32=，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8过点M（1，2）的直线l与圆C：（x3）2+（ y4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是（）Ax2y+3=0B2x+y4=0Cxy+1=0Dx+y3=0考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题；直线与圆分析：当直线AB与直线CM垂直时，ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜
12、率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x3）2+（y4）2=25，圆心坐标C为（3，4），M（1，2），kCM=1，kAB=1，则此时直线l的方程为y2=（x1），即x+y3=0故选：D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时ACB最小是解本题的关键9函数 f（x）=
13、cos3x+sin2xcosx的最大值是（）AB1CD2考点：三角函数的最值 专题：三角函数的求值分析：化简已知函数换元可得y=t3t2t+1，t1，1，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2xcosx=cos3x+1cos2xcosx令cosx=t，则t1，1，换元可得y=t3t2t+1，t1，1，求导数可得y=3t22t1=（3t+1）（t1），令y=（3t+1）（t1）0可解得t1，令y=（3t+1）（t1）0可解得t或t1，函数y=t3t2t+1在（1，）上单调递增，在（，1）上单调递减，当t=时，y取最大值故选：C点评：
14、本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题10如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD考点：函数的图象 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为
15、连接BG，可得tanBGM=，即BGM=，所以tanBGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11已知集合A=x|y=ln（3x），则AN=0，1，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：首先，求解函数y=ln（3x）的定义域，即得集合A，然后，求解AN即可解答
16、：解：函数y=ln（3x），3x0，x3，集合A=x|x3，AN=0，1，2，故答案为：0，1，2点评：本题重点考查了函数的定义域的求解方法、集合的交集运算等知识，属于基础题12设a0，10，则函数g（x）=在区间（0，+）内为增函数的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据函数g（x）=在区间（0，+）内为增函数，可得a2，结合a0，10，以长度为测度，即可求概率解答：解：函数g（x）=在区间（0，+）内为增函数，a2，a0，10，函数g（x）=在区间（0，+）内为增函数的概率为=故答案为：点评：本题考查概率的计算，考查函数的单调性，确定测度是关键13实数x，y满足不等式组，则的取值
17、范围是考点：简单线性规划；斜率的计算公式 专题：数形结合分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（2，2）与点（1，1）连线的斜率由图可知的取值范围是1，故答案为：1，点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案14若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是5考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：将
18、条件3x+y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值解答：解：由3x+y=5xy得，4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，x=1，y=2时取等号故4x+3y的最小值是5，故答案为：5点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键15已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）如果集合A=（x，y）|x2+y2=4，点P的坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D=P|d（P，A）1所表示的图形的面积为8考点：两
19、点间距离公式的应用 专题：新定义；直线与圆分析：集合A=（x，y）|x2+y2=4表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|r，计算即可得到对于D=P|d（P，A）1，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到解答：解：集合A=（x，y）|x2+y2=4表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=42，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|r=42=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为94=5，P在圆内，则为介于圆心为O，半
20、径分别为1，2的圆环，其面积为4=3，那么点集D=P|d（P，A）1所表示的图形的面积为5+3=8故答案为：2，8点评：本题考查点和圆的位置关系，主要考查两点距离的最小值，理解点P到集合A的距离的新定义，并运用是解题的关键三、解答题（共6小题，满分75分）16已知数列an满足a2=5，且其前n项和Sn=pn2n（）求p的值和数列an的通项公式；（）设数列bn为等比数列，公比为p，且其前n项和Tn满足T5S5，求b1的取值范围考点：等比数列的性质；数列的求和 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）由题意，得S1=p1，S2=4p2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p2=p1+5，
21、即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列an的通项公式；（）求出Tn，利用T5S5，建立不等式，即可求b1的取值范围解答：解：（）由题意，得S1=p1，S2=4p2，因为 a2=5，S2=a1+a2，所以 S2=4p2=p1+5，解得 p=2所以 当n2时，由an=SnSn1，得 验证知n=1时，a1符合上式，所以an=4n3，nN*（）由（），得因为 T5S5，所以 ，解得 又因为b10，所以b1的取值范围是 点评：本题考查数列的性质和综合应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键17现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶
22、图如图，（）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图 专题：概率与统计分析：（）根据茎叶图数据直接求样本数据的中位数、平均数即可；！（）列举从10件中药材的优等品中随机抽取2件的所有基本事件，找出2件优等品的重量之差不超过2克所包含的事件，利用古典概型概率公式计算即可解答：解：（）样本数据的中位数是，样本数据的平均数是=15；根据样本数据估计总体的思想可得，这100件中药材重量的平均数是15克，因此，估计这100件中药材的总
23、重量约为10015=1500克（）这10件中药材的优等品的重量有17克、18克、20克、21克、23克从10件中药材的优等品中随机抽取2件，所有基本事件有：（17，18），（17，20），（17，21），（17，23），（18，20），（18，21），（18，23），（21，23）共10个记“2件优等品的重量之差不超过2克”为事件A，则事件A的基本事件有：（17，18），（18，20），），（21，23）共4个P（A）=这2件中药材的重量之差不超过2克的概率为点评：本题考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型等知识，以及数据处理能力，样本估计总体的数学思想属于中档题18如图，在ABC中，已知D为B
24、C边上的中点，且cosB=，cosADC=（1）求sinBAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长考点：解三角形的实际应用；余弦定理 专题：综合题；解三角形分析：（1）先求出sinB=，sinADC=，利用sinBAD=sin（ADCB），即可求出结论；（2）在ABD中，由正弦定理求得BD，在ADC中，由余弦定理，求得AC解答：解：（1）因为cosB=，所以sinB=，又cosADC=，所以sinADC=，所以sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=； （2）在ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD=，故DC=，从而在ADC中，由余弦定理，得AC2=AD2+
25、DC22ADDCcosADC=所以AC= 点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系19如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=A1B1（1）证明：无论取何值，总有AM平面PNQ（2）若AC=1，试求三棱锥PMNQ的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）建立空间直角坐标系，设出棱长，得到点的坐标，由向量数量积证得答案；（2）把三棱锥PMNQ的体积转化为A1MNQ的体积，即NA1MQ的体积，则三棱锥P
26、MNQ的体积可求解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=AB=AC=a，则A（0，0，0），M（0，a，），N（），Q（），A1（0，0，a），B1（a，0，a），再设P（x，0，a），由A1P=A1B1，得，即（x，0，0）=（a，0，0），即x=a，P（a，0，a），则AM平面PNQ；（2）解：由（1）可知，P在线段A1B1 上移动时三棱锥PMNQ的体积一定，不妨取A1为P，由AA1=AB=AC=1，得，MQ=，A1到MQ的距离为，=，QN=，则=点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，是中档题20如图，某
27、工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为设圆锥纸筒底面半径为r，高为h（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，进而由圆锥纸筒的容积为，得到r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=时S最小，进而得到答案解答：解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为，则=，即r2h=3，故r与
28、h满足的关系式为r2h=3； （2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=rl，其中l为圆锥的母线长，且l=，所以S=r=，（h0 ），设f（h）= （h0 ），由f（h）=+3=0，解得h=，当0h时，f（h）0；当h时，f（h）0；因此，h=时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S亦最小；由r2h=3得=，所以最省时的值为 点评：本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档21如图，过椭圆L的左顶点A（3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，
29、l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，ABM是直角三角形（）求椭圆L的标准方程；（）（i）证明：存在实数，使得=；（ii）求|OP|的取值范围考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据当k=3时，ABM是直角三角形，左顶点A（3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；（）（i）设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数，使得=；（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范围解答：（）解：由题意，当k=3时，ABM是直角三角形，左顶点A（3，0
30、）和下顶点B，b=1，椭圆L的标准方程为；（）（i）证明：设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx1，其中k0，则M（0，3k），N（，0）y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k2）x2+54k2x+81k29=0，方程一根为3，则由韦达定理可得另一根为，C（，）同理D（，）两直线l1，l2平行，可设=t，=t，从而可得P（，）=（，）=（3，3k），存在实数=1+3k，使得=；（ii）=（，），消去参数可得P的轨迹方程为x+3y3=0，|OP|的最小值为d=|OP|的取值范围为，+）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题