1、数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)，第一步验证()An1Bn2Cn3Dn4C由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立2设Sk，则Sk1为()ASkBSkCSkDSkC因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk，故Sk1Sk.3利用数学归纳法证明不等式1n(n2，nN*)的过程中，由nk变到nk1时，左边增加了()A1项Bk项C2k1项D2k项D当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1时，最后一项为，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项4对于不等式n1(nN*)，某学生的证
2、明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对B由nk时命题成立可以推出nk2时命题也成立，且n2时命题成立，故对所有的正偶数都成立二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步验证的表达式为_2111212当n1时，左边右边，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形7用数学归纳法证明(11)(22)(33)(nn)2n1(n2n)时，从nk到nk1左边需要添加的因式是_2k2当nk时，左端为：(11)(22)(kk)，当
3、nk1时，左端为：(11)(22)(kk)(k1k1)，由k到k1需添加的因式为：(2k2)8数列an中，已知a12，an1(nN*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为_ana12，a2，a3，a4，猜测an.三、解答题9(1)用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)(2)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1.则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(
4、1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.当nk1时，等式也成立，根据、可知，对于任何nN*等式成立(2)当n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立10已知f n(x)满足f 1(x)(x0)，f n1(x)f 1(f n(x). (1)求f 2(x)，f 3(x)，并猜想f n(x)的表达式
5、；(2)用数学归纳法证明对f n(x)的猜想解(1)f 2(x)f 1f 1(x)，f 3(x)f 1f 2(x)，猜想：f n(x)(nN*)(2)下面用数学归纳法证明 ，f n(x)(nN*)当n1时，f 1(x)，显然成立；假设当nk(kN*)时，猜想成立，即f k(x)，则当nk1时，f k1f 1f k(x)，即对nk1时，猜想也成立；结合可知，猜想f n(x)对一切nN*都成立1利用数学归纳法证明1(nN*，且n2)时，第二步由k到k1时不等式左端的变化是()A增加了这一项B增加了和两项C增加了和两项，同时减少了这一项D以上都不对C不等式左端共有n1项，且分母是首项为n，公差为1，
6、末项为2n的等差数列，当nk时，左端为；当nk1时，左端为，对比两式，可得结论2某命题与自然数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，则可推得nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，则可推得()A当n6时，该命题不成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n4时，该命题成立C若n4时，该命题成立，由条件可推得n5命题成立它的逆否命题为：若n5不成立，则n4时该命题也不成立3记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k1边形的内角和f (k1)f (k)_.由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k1)f (k).4对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，
7、则最小的自然数a_.5当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.5是否存在a，b，c使等式对一切nN*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论解取n1,2,3可得解得：a，b，c.下面用数学归纳法证明.即证1222n2n(n1)(2n1)，n1时，左边1，右边1，等式成立；假设nk时等式成立，即1222k2k(k1)(2k1)成立，则当nk1时，等式左边1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)2k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)，当nk1时等式成立由数学归纳法，综合知当nN*等式成立，故存在a，b，c使已知等式成立5
