1、芗城中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题第卷（选择题 共50分）一、 选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（） A1B2C1或2D-12. 观察按下列顺序排列的等式：，猜想第个等式应为 A BC. D3设则（ ） A都不大于 B都不小于 C至少有一个不大于 D至少有一个不小于4 设，则的大小顺序是( ) A. B. C. D. 5函数的零点个数为（ ） 6.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（ ）A B C D 7用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，
2、由到时，不等式的左边（）A增加了一项 B增加了两项C增加了两项，又减少了一项 D增加了一项，又减少了一项8某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）A. 16 B. 18 C. 24 D. 329有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离（单位：m）关于时间（单位：s）的函数为，求当时，梯子上端下滑的速度为（ ）10设函数在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 第卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5题，每小题5分，共25分）11.计算：已知，那么= 12. 函数
3、的单调递增区间是 13在平面几何中,有射影定理：“在中,，点在边上的射影为，有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面，点在底面上的射影为，则有 .”14.由曲线，围成的封闭图形的面积为 。15已知其中是常数,则 = .三解答题：本大题共5个小题.共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）设集合,从集合中各取2个元素组成没有重复数字的四位数.（1） 可组成多少个这样的四位数？（2）有多少个是2的倍数或是5的倍数？ 17（本小题满分12分）已知函数：（1） 求函数的极值（2） 求函数在区间上的最大值
4、和最小值 18（本小题满分12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列 （）求n的值； （）求展开式中系数最大的项 19（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位:cm）满足：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（1）求K的值及f(x)的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小并求最小值。20. （本小题满分13分） 是否存在常数，使等式对于
5、一切都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21. （本小题满分14分）已知函数在上是增函数，在上为减函数.（1）求的表达式；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的值；（3）是否存在实数使得关于的方程在区间0，2上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数的取值范围.参考答案（理） 17 解：(1)解方程，得当x变化时，变化状态如下表：x+00+当x=2时，函数有极大值，且 而当x=2时，函数有极小值，且 （2）当x=-3时，有 当x=4时，有 由(1)可知函数在区间上的最大值是，最小值是。（3）若存在实数b使得条件成立， 方程f(x)=x2+x+b即为x-b+1-ln(1+x)2=0,令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g(x)=1-=,令g(x)0,得x-1或x1,令g(x)0,得-1x1,故g(x)在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间0，1和1，2上各有一个实根，于是有2-2ln2b3-2ln3, 故存在这样的实数b,当2-2ln2b3-2ln3时满足条件.