1、专题大模拟(二)(专题一四)(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1(2014全国新课标高考)设zi，则|z|()A. B. C. D2【解析】ziiii，|z|，故选B.【答案】B2(2014湖北高考)命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2x BxR，x2xCxR，x2x DxR，x2x【解析】将改写成，否定结论，故选D.【答案】D3(2014全国大纲高考)设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN()A(0,4 B0,4) C1,0) D(1,0【解析】Mx|x2
2、3x40x|1x4，Nx|0x5MNx|0x4，故选B.【答案】B4已知函数f(x)，则f(2 015)()A2 015 B2 014 C2 013 D2 012【解析】f(2 015)f(2 014)1f(2 013)2f(0)2 015log212 0152 015.故选A.【答案】A5(2014全国新课标高考)若tan 0，则()Asin 0 Bcos 0 Csin 20 Dcos 20【解析】tan 0，sin cos 0，sin 22sin cos 0，故选C.【答案】C6(2014广东广州综合测试)若函数f(x)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A(2,2) B(，2)(
3、2，)C(，2)2，) D2,2【解析】依题意x2ax10对xR恒成立，a240，2a2.故选D.【答案】D7(2014山东济南一模)函数yln的图象大致是()【解析】因为f(x)ln()ln)f(x)，所以f(x)为偶函数，排除B、D，又因为当0x时，0sin xx，所以0xsin xxsin x,01，f(x)0，排除C.故选A.【答案】A8若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9【解析】函数的导数为f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，
4、由题意知a，b都是正实数，所以ab()2()29，当且仅当ab3时取到等号，故选D.【答案】D9(文)(2014福建高考)将函数ysin x的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()Ayf(x)是奇函数Byf(x)的周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点(，0)对称【解析】函数ysin x图象向左平移得f(x)sin(x)，f(x)cos x，故选D.【答案】D(理)(2014湖南高考)已知函数f(x)sin(x)，且0f(x)dx0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是 ()Ax Bx Cx Dx【解析】由0f(x)dx0，得0sin(x)d
5、x0，即cos (x)|00，解得k，f(x)sin ，由xkk得x(kk)(k，kZ)，故选A.【答案】A10(2014陕西高考)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x【解析】由题图知函数过(0,0)，可设三次函数为f(x)ax3bx2cx，f(x)3ax22bxc，函数f(x)过点(2,0)且f(0)1，f(2)3，由f(x)x3x2x，故选A.【答案】A11(2014江西高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab
6、)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C. D3【解析】由c2(ab)26得c2a2b22ab6.由余弦定理得c2a2b2ab，ab6，Sabsin C6，故选C.【答案】C12(2014江西南昌模拟)若数列an，bn的通项公式分别是an(1)n2 013a，bn2，且anbn对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是()A(2,1) B2,1)C(2,1 D2,1【解析】由anbn，得(1)na2，要使其对任意nN*恒成立，则当n2k1(kN*)时，a2恒成立，又()max1，所以a211；当n2k(kN*)时，a2恒成立，又(0，所以a2，得a2.综上所述，2a1.故选B.【答案】B第
7、卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.【解析】先判断数列的项是正数，再求出公比和首项aa100，根据已知条件得2(q)5，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.【答案】2n14(2014山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为_【解析】x1n0124130x112；n12242310输出3.【答案】315(预测题)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx38
8、1x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件【解析】因为yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，) 上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值【答案】916.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_【解析】利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，ABP2.设P
9、(x，y)，则x21cos(2)2sin 2，y11sin(2)1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2)【答案】(2sin 2,1cos 2)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2013陕西高考)已知向量a(cos x，)，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，上的最大值和最小值【解】f(x)(cos x，)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsincos 2xsin(2x)(1)f(x)的
10、最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，得当2x，即x时，f(x)取得最大值1；当2x，即x0时，f(0)；当2x，即x时，f()，f(x)的最小值为.因此，f(x)在0，上的最大值是1，最小值是.18(12分)(文)(2014山东高考)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和【解】(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1,2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a
11、1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1,2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1,2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.(理)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)【解】由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13(121)0，可得有SS160，解得S13或2，即a13或2，又an为正数，所以a12.(2)【解】由S(n2n3)Sn3(n
12、2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3，又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a1221，所以an2n.(3)【证明】当n1时，成立；当n 2时，()，所以()()().所以对一切正整数n，有.19(12分)(2014陕西高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值(1)【证明】a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2
13、sin B.sin Bsin (AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)【解】a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为.20(12分)(2014江西高考)已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求a的值【解】(1)当a4时，由f(x)0得x或x2，由f(x) 0得x(0，)或x(2，)，故函数f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，)(2)f(x)，a0，由f(x)0得x或x.当x(0，)时，f(x)单调递增；当x(，)
14、时，f(x)单调递减；当x(，)时，f(x)单调递增易知f(x)(2xa)0，且f()0.当1时，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14时，即8a2时，f(x)在1,4上的最小值为f()0，不符合题意当4时，即a8时，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4处取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1,4)单调递减，f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意综上有，a10.21(12分)(2014山东济宁模拟)已知函数f(x)ln x(aR)(1)当a1时，求f(
15、x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的最小值；(3)当a2时，求证：ln(n1)2 nln(2e)(nN*)【解】(1)当a1时，f(x)ln x，f(x)，kf(1).又f(1)1，切点为(1，1)，所以切线方程为y(1)(x1)，即x2y30.(2)因为f(x)ln x(x0)所以f(x)，当a0时， f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)无最值；当a0时，令f(x)0，解之：xa，当变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(0，a)a(a，)f(x)0f(x)极小值由表可知，当xa时，f(x)取极小值即为最小值，所以f(x)minf(a)ln a1；
16、综上所述：当a0时，f(x)无最值；当a0时，f(x)最小值为f(a)ln a1.(3)当a2时，由(1)知：f(x)ln 21，(当且仅当x2时，等号成立)即ln xln 21，从而ln xln 21ln(2e)，(*)所以分别令x，代入(*)式得下列n个不等式：ln ln(2e)ln(2e)2，ln ln(2e)ln(2e)2，ln ln(2e)ln(2e)2，ln ln(2e)ln(2e)2，将上述n个不等式相加得：ln ln ln ln nln(2e)(2222)，即ln()nln(2e)2()，所以ln(n1)nln(2e)2()，即ln(n1)2nln(2e)22(12分)(预测题
17、)已知点(1，)是函数f(x)ax(a0且a1)图象上的一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1(n2)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问使Tn的最小正整数n是多少？(3)若cnanbn，求数列cn的前n项和【解】(1)f(1)a，f(x)()x.a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又数列an成等比数列，a1c，c1.又公比q，an()n1，(nN*)SnSn1()()(n2)又bn0，0，1.数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)1n，Snn2.当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，b11也适合该通项公式，bn2n1(nN*)(2)Tn(1)()()()(1).由Tn，得n77，满足Tn的最小正整数为77.(3)cnanbn(2n1)(2n1)设数列cn的前n项和为Pn，则Pnc1c2cn135(2n3)(2n1)则3Pn135(2n1)得：2Pn1222(2n1)12()(2n1)12(2n1)2Pn1即cn的前n项和为1.