1、习题课发展要求与高考对接(八)教学指导意见中的发展要求1了解直线和直线方程之间的对应关系2通过研究圆上任意一点与直线上任意一点之间距离的最值问题，体会数形结合，化归的思想方法，通过两圆关于直线对称问题的研究，进一步体会解析法思想3能建立空间直角坐标系表示一些特殊的几何体(如正三棱锥、正三棱柱)4了解曲线方程的完备性与纯粹性，掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法5了解椭圆、双曲线、抛物线的一些共同性质，掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法，了解圆锥曲线的有关光学性质考点一空间动点轨迹的判断学生用书P192(1)(2015高考浙江卷)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平
2、面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支(2)(2016台州高三期末质量评估)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，动点P，Q分别在直线AB，A1D1上，且|PQ|2，则PQ的中点M形成的轨迹所围成图形的面积为_解析(1)因为PAB30，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面的交线，且平面与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆(2)以A1为原点，A1D1所在直线为x轴，A1B1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设Q(m，0，0)，P(0，n，1)，因为|PQ|2，故2，即m2n23；设PQ的中点M，因为故将代
3、入中可得x2y2，故M形成的圆的面积S.答案(1)C(2)(1)根据平面与圆锥面的截线性质直接判断，即：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，0)，则，平面与圆锥面的交线为椭圆；，平面与圆锥面的交线为抛物线，平面与圆锥面的交线为双曲线(2)根据空间两点间的距离公式，先求点关于动点P(x，y，z)的方程，然后根据方程再作判断或计算 1.(2016金华十校模拟)已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)，|PQ|.设线段PQ中点M
4、的轨迹为T，则T的长度为_解析：如图所示，以D点为原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P(m，1，0)(0m1)，Q(0，0，n)(0n1)，M(x，y，z)，则由中点坐标公式得x，y，z，所以m2x，n2z，因为|PQ|，所以m2n21，把代入得4x24z21，即x2z2，因为0m1，0n1，所以0x，0z，所以PQ的中点M的轨迹方程为轨迹T为在垂直于y轴的平面内，半径为的圆周，所以T的长度为2.答案：考点二圆锥曲线中的定点、定值问题学生用书P193(2015高考陕西卷)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)
5、经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.定点、定值问题的求解策略(1)定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关
6、系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点(2)定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到(3)无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定代数式的整理方向和目标. 2.(2014高考山东卷节选)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1
7、和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标解：(1)由题意知F.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)来源:Z,xx,k.Com由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)，故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kA
8、E，可得直线AE的方程为yy0(xx0)由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0)考点三圆锥曲线中的范围、最值问题学生用书P194(2015高考浙江卷)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB中点M代入直线方程ymx解得b.由得m.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离
9、为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.范围、最值问题的求解策略(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数
10、的值域的求法，确定参数的取值范围. 3.(2016南昌调研测试)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4且过点(，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围来源:Zxxk.Com解：(1)椭圆C：1(ab0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0，2)，2a4，所以a2，b2，即椭圆C的方程是1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，2)，8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为ykx2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2k2)x24kx40，则x1x2，x1x2，所以
11、x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448，因为010，所以82，所以的取值范围是8，2考点四圆锥曲线中的探索性问题学生用书P194(2015高考四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)
12、，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.探索性问题的求解策略(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(
13、2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 4.(2015高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点
14、，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知直线PM，PN的斜率存在，并分别记为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意1(2016长春质量检测)若F(c，0)是双曲线1(ab0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，OAB的面积为，则该双曲线的离心率e()A.B.C. D.解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则tan ，tan 2，因此OAB的面积可以表示为aatan 2，
15、解得，则e.故选C.2(2016山西省考前质量检测)已知F为抛物线C：y24x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q，与C交于点P，则点P的坐标为()A(1，2) B(2，2)C(3，2) D(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x1，F(1，0)设E(1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|FQ|，即y，解得y4，所以kEF2，kPQ，所以直线PQ的方程为y(x1)，即x2y40.由解得即点P的坐标为(4，4)，故选D.3已知F1、F2分别为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆的中心O任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2
16、的面积最大时，的值为_解析：易知当P，Q分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大由于F1(，0)，F2(，0)，不妨设P(0，1)，所以(，1)，(，1)，所以2.答案：24已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，球O是正方体的内切球已知点N是球O上的动点，点M是棱B1C1的中点，若DNBM，则动点N的轨迹的面积为_解析：如图，先找出过点D且与BM垂直的正方体的截面，其与内切球相交得到点N的轨迹为圆，取A1D1的中点M1，AA1的中点N1，连接AM1，DN1，则DN1AM1，即DN1在截面内，取平面ADD1A1的中心O1，连接OO1，则OO1平行于截面，故点O到截面的距离等于
17、点O1到截面的距离，作O1O2DN1于点O2，则O1O2与截面垂直，如图在正方形ADD1A1中，连接A1D，过点N1作N1PA1D于点P，则RtDO2O1RtDPN1，则又|DO1|，|PN1|，|DN1|，所以|O1O2|，即球心到截面的距离为，故截面圆的半径为r，所以动点N的轨迹的面积为.答案：5(2016东北三校联合模拟)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(
18、2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0，4)来源:学_科_网Z_X_X_K6已知抛物线C：x22py(p0)，直线l：yx1与抛物线C交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2(其中O为坐标原点)，且k1k2.来源:学_科_网(1)求p的值；(2)如图，已知点M(x0，y0)为圆：x2y2y0上异于O点的动点，过点M的直线m交抛物线C于E，F两点若M为线段EF的中点，求|EF|的最大
19、值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)将yx1代入抛物线C：x22py，得x22px2p0，则x1x22p.所以k1k2.所以p2.(2)设E(x3，y3)，F(x4，y4)，直线m：yk(xx0)y0，与抛物线C：x24y联立得x24kx4kx04y00(*)，则x3x44k2x0，所以kx0.此时(*)式为x22x0x2x4y00，所以(2x0)24(2x4y0)16y04x.所以|EF|x3x4|.又xyy00，所以|EF|22y04(y01)，当且仅当即y01时取等号所以|EF|的最大值为4.1(2016洛阳统考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，一个焦点与抛物线y24x的
20、焦点重合，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOAkOB，判断AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解：(1)由题意得c1，又e，所以a2，从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0得m20.由弦长公式得|AB|x1x2|.又点O到直线l：ykxm的距离d，所以SAOBd|AB| .故AOB的面积为定值.2 (2016太原模拟)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e
21、，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，0，求|的取值范围来源:学*科*网解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2面积取最大值，此时SPF1F2|F1F2|OP|bc，所以bc4，因为e，所以b2，a4，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)得椭圆的方程为1，则F1的坐标为(2，0)，因为0，所以ACBD，当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|6814，当直线AC的斜率k存在且k0时，则其方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，所以，所以|x1x2|，此时直线BD的方程为y(x2)，同理，由可得|，所以|，令tk21(k0)，则t1，所以|，因为t1，所以0，所以|.由可知，|的取值范围是.
