1、理科数学第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则的值是 ABCD2若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为 ABC3D3已知向量，若与共线，则的值为 A4B8C0D24PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在35g/m375g/m3之间空气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是 A这10天
2、中，12月5日的空气质量超标B这10天中有5天空气质量为二级C从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低D这10天的PM2.5日均值的中位数是475在中，D在边上，且，E为的中点，则 A B C D6已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为 附：若随机变量，则，.A B CD7已知，则 ABCD8已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A若，则B若，则C若，则D若，则9已知F是抛物线的焦点，A，B为抛物线C上两点，且则线段的中点到y轴的距离为 A3B2CD10在中，则为 A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D
3、等边三角形11已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为 ABCD12过点的直线与圆相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆上，设椭圆的右顶点为A，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为 ABCD二、填空题第II卷 非选择题（90分）二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在二项式的展开式中，含的项的系数是_14经过点且圆心在直线上的圆的方程是_.15已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_16定义为数列的“均值”,已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为_三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17（12分）在中，角，、的对边分别为，且.（）求；（II）若，且，求的面积.18（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.（）若某日播报的为118，已知轻度污
5、染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；（）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.19（12分）已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面（）证明： ；（II）当为的中点， ，与平面所成的角
6、为，求二面角的余弦值20已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.（）求椭圆的方程和点的坐标；（II）设为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.21是自然对数的底数，已知函数，.（）若函数有零点，求实数的取值范围；（II）对于，证明:当时，.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角
7、坐标方程和直线的普通方程；（II）若直线与曲线相交于，两点，求的面积23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（）若，求不等式的解集；（）若，且，求证：理科数学参考答案1B2C3A4C5D6C7C8B9B10B11D12D1310 14 1511617（1），.，.（2），即，即.，.，.18（）设重度污染区的平均值为，则，解得.即重度污染区平均值为172.（）由题意知，在内的天数为1，由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且，则的分布列为0123数学期望 .19（1）证明：连结交于点，连
8、结因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以因为平面， 平面，且平面平面，所以，所以（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以， 记二面角的大小为，则所以二面角的余弦值为 20（I）由椭圆的离心率e=，则b2=a2，则，消去x，整理得：y216y+16a2=0，由=0，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），（）设直线l的方程为y=x
9、+t，由，解得P的坐标为（1，+），所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+1=0，则x1+x2=t，x1x2=，=t24（1）0，t212，y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|=|x1|，同理|PB|=|x2|，|PA|PB|=|（x1）（x2）|=|（x1+x2）+x1x2|，|（t）+|=t2，所以=，所以=为定值21（1）由函数有零点知，方程有实数解，因为，所以设，则的取值范围转化为函数在上的值域因为，所以当，时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，故函数在时，取得最大值，又上，所以函数在上的值域为，当时，所以函数在上的值域
10、为，.从而函数有零点时，实数的取值范围为，（2）可以转化为证明两个不等式，.设，所以，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增故函数在时，取得最小值，所以得证设，有，当时，函数在上单调递减；当时，函数，在上单调递增故函数在时，取得最小值所以，得（仅当时取等号）又由为增函数，得.合并得证22（1）由曲线的极坐标方程为，得，所以曲线的直角坐标方程是由直线的参数方程为（为参数），得直线的普通方程（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），代入，得，设，两点对应的参数分别为，则，所以，因为原点到直线的距离，所以23（）时，或或，解得，故不等式的解集为；（）时，当且仅当时，取等.， 当且仅当时取等故