1、教学设计ylog2x的图像和性质对数函数的图像和性质(1)导入新课思路1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题推进新课下面研究对数函数ylog2x的图像和性质可以用两种不同方法画出函数ylog2x的图像方法一：描点法先列出x，y的对应值表如下：x1248ylog2x210123再用描点法画出图像如图2.图2方法二：画出函数xlog2y的图像，再变换为ylog2x的图像由于指数函数yax和对数函数xlogay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数xlog2y和y2x的图像是一样的(如图3(1)用
2、x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到ylog2x的图像(如图3(2) (1) (2) 图3 图4习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的ylog2x的图像(如图4)观察对数函数ylog2x的图像，过点(1,0)，即x1时，y0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x1时，ylog2x的图像位于x轴上方，即x1时，y0；函数ylog2x在(0，)上是增函数对数函数ylogax(a0，a1)，在其底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表a10a1图像性质(1)定义域：(0，)(1)定义域：(0，)(2)值域：R(2)值
3、域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)是(0，)上的增函数(5)是(0，)上的减函数(1)根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？(2)判断函数的单调性有哪些方法和步骤？(3)判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方
4、法和步骤，严格按步骤与规定问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定讨论结果：(1)比较数的大小：作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小计算出每个数的值，再比较大小是两个以上的数，有时采用中间量比较利用图像法利用函数的单调性(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断利用定义证明单调性的步骤：在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1x2.作差或作商(同号数)，注意变形判断差的符号，商与1的大小确定增减性对于复合函数yf可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数yf是增函数
5、；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数yf是减函数又简称为口诀“同增异减”(3)有两种方法：定义法和图像法利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数；若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数图像法：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称这也可以作为判断函数奇偶性的依据下面看它们的应用思路1例1 比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；
6、(3)log3，log3；(4)loga3.1，loga5.2(a0，a1)活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小对(3)两个对数式的底数和真数均不相同设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中
7、间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数ylog2x的图像，如图5.图5在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所以log24.7log25.3.解法二：由函数ylog2x在R上是单调增函数，且4.75.3，所以log24.7log25.3.(2)因为0.21，函数ylog0.2x是减函数，79，所以log0.27log0.29.(3)解法一：因为函数ylog3x和函数ylogx都是定义域上的增函数，所以log3log1log33log3.所以log3log3.解法二：直接利用对数的性
8、质，log31，而log31，因此log3log3.(4)解法一：当a1时，ylogax在(0，)上是增函数，且3.15.2，所以loga3.1loga5.2.当0a1时，ylogax在(0，)上是减函数，且3.15.2，所以loga3.1loga5.2.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较log20.7与log0.8两值的大小解：考查函数ylog2x.因为21，所以函数ylog2x在(0，)上是增函数又0
9、.71，所以log20.7log210.再考查函数ylogx，因为01，所以函数ylogx在(0，)上是减函数又10.8，所以log0.8log10.所以log20.70log0.8.点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.例2 求下列函数的定义域：(1)ylogax2；(2)yloga(4x)活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生此题主要利用对数及对数函数的定义及ylogax的定义域(0，)求解教师引导，学生回答，求函数定
10、义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解解：(1)要使函数有意义，则需x20，即x0，所以定义域为x|x0；(2)因为4x0，即x4，所以函数定义域为x|x4点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可思路2例1 已知f(x)1logx3，g(x)2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的要比较两个
11、代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法解：f(x)，g(x)的定义域都是(0,1)(1，)f(x)g(x)1logx32logx21logx3logx4logxx.(1)当0x1时，若0x1，即0x，此时logxx0，即0x1时，f(x)g(x)；若x1，即x，这与0x1相矛盾(2)当x1时，若x1，即x，此时logxx0，即x时，f(x)g(x)；若x1，即x，此时logxx0，即x时，f(x)g(x)；若0x1，即0x，此时logxx0，即1x时，f(x
12、)g(x)综上所述，当x(0,1)时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.变式训练已知logm5logn5，比较m，n的大小活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为，由已知条件知道
13、m、n都大于0，且都不等于1，据此确定m，n的大小关系解：因为logm5logn5，所以.当m1，n1时，得0，所以log5nlog5m.所以mn1.当0m1,0n1时，得0，所以log5nlog5m.所以0nm1.当0m1，n1时，得log5m0，log5n0，所以0m1，n1.所以0m1n.综上所述，m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n.点评：分类讨论是解题的关键.例2 求函数ylog2(x2x6)的单调区间，并证明活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性定义法求函数的单调区间，其步骤是：确定函数的定义域，在定
14、义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1x2；通过作差比较f(x1)和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x1和x2的“任意性”)；再归纳结论解法一：由x2x60，得x2或x3，不妨设x1x22，则f(x1)f(x2)log2(xx16)log2(xx26)log2log2.因为x1x22，所以x13x230，x12x220.所以1.所以log2log20，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以函数f(x)log2(x2x6)在区间(，2)上是减函数同理，函数f(x)log2(x2x6)在区间(3，)上是增函数解法二：令ux2x6，则ylog2u.
15、因为ylog2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数；当u为x的减函数时，y为x的减函数由x2x60，得x2或x3，借助于二次函数的图像，可知当x(，2)时，u是x的减函数，当x(3，)时，u是x的增函数所以原函数的单调减区间是(，2)，单调增区间是(3，)点评：本题考查复合函数单调性的判定方法一般地，设函数yf(u)，ug(x)都是给定区间上的单调函数若yf(u)，ug(x)在给定区间上的单调性相同，则函数yf是增函数；若yf(u)，ug(x)在给定区间上的单调性相反，则函数yf是减函数1函数y的定义域是()A(3，)Bx2x13，x2x10,2(x1x2)0.(x2x13)
16、(x2x23)又底数01，y1y20，即y1y2.y在(3，)上是减函数同理可证y在(，1)上是增函数3已知yloga(2ax)在上是x的减函数，求a的取值范围解：因为a0且a1，(1)当a1时，函数t2ax0是减函数；由yloga(2ax)在上是x的减函数，知ylogat是增函数，所以a1；由x时，2ax2a0，得a2，所以1a2.(2)当0a1时，函数t2ax0是增函数；由yloga(2ax)在上是x的减函数，知ylogat是减函数，所以0a1.由x时，2ax210，所以0a1.综上所述，0a1或1a2.本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务(设计者：路致芳)
