1、陕西省宝鸡市 2021 届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2280Ax xx，0Bx xa，若 BA，则实数 a 的取值范围为（）A.2,)B.(2,)C.4,)D.(4,)【答案】A【解析】【分析】首先求集合,A B，再根据 BA，求实数a 的取值范围.【详解】由2Ax x或4x ，Bx xa，若 BA，则实数 a 的取值范围为2a.故选：A 2.若0.12a，0.212b，2log 0.1c，则（）A.bac B.bca C.abc D.acb【答案】A【
2、解析】【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.【详解】0.20.20.112202ba，由对数函数的性质可得2log 0.10c，故bac.故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.3.下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（）A.y1x B.yln x C.y131x D.y11xx【答案】D【解析】【分析】分别求得函数定义域和值域，即可容易判断.【详解】对于 A，定义域为1，)，值域为0，)，不满足题意；对于 B，定义域为(0，)，值域为 R，不满足题意；对于 C，定义域为(，0)(0，)，又30 x，且31x ，故311x ，且310 x ，
3、故1y 或0y.故值域为(，1)(0，)，不满足题意；对于 D，y11xx121x，定义域为(，1)(1，)，值域也是(，1)(1，).故选：D.【点睛】本题考查函数定义域与值域的求解，属基础题.4.已知向量(,1)ax，(3,5)b，若|a bab，则实数 x 的值为（）A.-2 或 3 B.1 或 2 C.25或-1 D.35【答案】D【解析】【分析】由向量数量积和模对的坐标公式，结合已知条件即可得2(53)0 x，从而可求出实数 x 的值.【详解】由 a bab，有235341xx，可化为2(53)0 x，解得35x.故选:D.5.在前 n 项和为nS 的等差数列 na中，若 15369
4、3218aaaaa，则8S（）A.24 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质和已知条件可得363aa，结合等差数列的求和公式即可求出8S.【详 解】因 为1533962,2aaaaaa，且15369321 8aaaaa，则366618aa，有363aa，则1883684122aaSaa.故选:B.6.三个学生在校园内踢足球，“砰”一声，不知道是谁踢的球把教室窗户的玻璃打破了，老师跑过来一看，问：“是谁打破了玻璃窗户”.甲说：“是乙打破的”；乙说：“是丙打破的”；丙说：“是乙打破的”，如果这三个孩子中只有一个人说了实话，则打破玻璃窗户的是（）A.甲 B.乙 C.
5、丙 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】分别按照甲说了实话，乙说了实话和丙说了实话分类讨论，结合题意可得答案【详解】若甲说了实话，则丙也说了实话，不合题意；若乙说了实话，则甲、丙都说了假话，符合题意；若丙说了实话，则甲也说了实话，不合题意.由上知打破玻璃的是丙.故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查分类讨论思想，属于基础题 7.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该烟花模型的体积为（）A.15 B.413 C.403 D.14 【答案】B【解析】【分析】由三视图得几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即
6、可【详解】由三视图可知该几何体是由半径为 2，高为 3 的圆柱，与半径为 1，高为 1 的圆柱，以及底面半径为 1，高为 2 的圆锥组成的几何体，如图所示.几何体体积为：2221413 21 12 133 故选 B 【点睛】本题考查组合体的体积，由三视图得几何体的形状是解题的关键，属于基础题 8.若1 sin 221 cos 2sin 2，则 tan （）A.-3 B.13 C.13 D.3【答案】B【解析】【分析】先利用二倍角公式化简1 sin 221 cos 2sin 2，即可得到cos3sin，进而求得 tan.【详解】解：1 sin 221 cos2sin 2，利用二倍角公式展开得：2
7、22sin2sincoscos22sin2sincos，即2(sincos)22sin(sincos)，即 sincos22sin，即3sincos0，即cos3sin，sinsin1tancos3sin3 故选：B.9.“1m ”是“函数1()2lnf xxmxx单调递减”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出()yf x的导函数，利用()yf x单调递减，则()0fx恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论.【详解】由221()fxmxx，若函数()yf x单调递减，必有当(0,)x 时
8、，2210mxx恒成立，可化为2111mx，可得 m1故“1m ”是“函数1()2 lnf xxmx x单调递减”的充分不必要条件.故选：A.10.已知正项等比数列 na的首项为(1)m m，且 43243 aaa.记nT 为数列 na的前 n项的积，若nT 中仅有5T 最大，则实数 m 的取值范围为（）A.(8,16)B.(16,32)C.(1,16)D.(4,8)【答案】B【解析】【分析】由等比数列的通项公式可求出公比，结合5T 最大可得5611aa，从而可求出实数 m 的取值范围.【详解】设等比数列 na的公比为 q，有 2413 qq，解得12q 或32q (舍去)，由nT 中仅有5T
9、 最大，有5611aa，有116132mm，可得1632m.故选:B.【点睛】关键点睛：本题的关键是由nT 中仅有5T 最大得5611aa.11.已知函数()f x 的定义域为1,)，满足1(2)()2fxf x，且当1,2)x时，2()32f xxx.若对任意,)xm 都有4()25f x ，则实数 m 的取值范围为（）A.6,5 B.8,5 C.9,5 D.7,5【答案】C【解析】【分析】先求出当1,2)x，2,4)x的解析式画出函数的图象，求出函数的值域，依次类推，解方程23142425x 得65x 或 95，数形结合分析得解.【详解】当1,2)x时，2311()244f xx；当2,4
10、)x时，1,2)2x，211311()222 2288xxf xf ；当4,)x 时，1()16f x .又由方程23142425x 的解65x 或 95，由函数()f x 的草图可知，若对任意,)xm 都有4()25f x ，则实数 m 的取值范围为 9,5.故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出函数在1,2)x，2,4)x的解析式，得到整个函数的图象.12.已知菱形 ABCD 的边长为2 3，060BAD，沿对角线 BD 将菱形 ABCD 折起，使得二面角 ABDC的余弦值为13，则该四面体 ABCD 外接球的体积为()A.28 73 B.8 6 C.20 53 D.36 【答案】
11、B【解析】【分析】首先根据题中所给的菱形的特征，结合二面角的平面角的定义，先找出二面角的平面角，之后结合二面角的余弦值，利用余弦定理求出翻折后 AC 的长，借助勾股定理，得到该几何体的两个侧面是共用斜边的两个直角三角形，从而得到该四面体的外接球的球心的位置，从而求得结果.【详解】取 BD 中点 M,连结,AM CM，根据二面角平面角的概念，可知AMC是二面角 ABDC的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得32 332AMCM，此时满足 21992 3 3()243AC ，从而求得2 6AC，22222ABBCADCDAC，所以,ABCADC是共斜边的两个直角三角形，所以该四面体的外接
12、球的球心落在 AC 中点，半径62ACR，所以其体积为3446 68 633VR，故选 B.【点睛】该题所考查的是有关几何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明白外接球的球心的位置，这就要求对特殊几何体的外接球的球心的位置以及对应的半径的大小都有所认识，并且归类记忆即可.二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知 x，y 满足约束条件204101xyxyx ，则31zxy 的最小值为_【答案】9 【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将31zxy 转化为直线的斜截式，进而求 z 的最小值转化为求直线的最小纵截距求解即可.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影
13、部分.31zxy 变形可得31yxz ，所以minz即为直线31yxz 与可行域相交的最小纵截距，根据图可得当1x ，5y 时，z 的最小值为 9.故答案为：9.14.在有一个内角为120 的 ABC 中，三边长分别为 x，21x ，21(1)xx，则 ABC的面积为_.【答案】15 34【解析】【分析】根据题意，利用余弦定理得到222(21)(21)(21)xxxxx，求得 x 的值，结合面积公式，即可求解.【详解】由 ABC 中，三边长分别为 x，21x ，21(1)xx，可得2121xxx ，又由一个内角为120，根据余弦定理可得222(21)(21)(21)xxxxx，解得3x，所以
14、ABC 的面积为 115 33 5 sin12024 .故答案：15 34 15.已知正数 a，b 满足4142abab，则4ab的最小值为_.【答案】171 【解析】【分析】由 4116(4)8baababab，利用基本不等式求得 41164abab，结合题意转化为16424abab，即可求解.【详解】由 411616(4)82816babaabababab(当且仅当4ab时取等号)，可得 41164abab，所以16424abab，即2(4)2(4)160abab，可得2(41)17ab，解得417 1ab，故4ab的最小值为 171.故答案为：171.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注
15、意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.已知函数 ()3sincos(0)f xxx，若函数()f x 的图象的任意一条对称轴与 x轴的交点的横坐标都不在区间2,63内，则 的取值范围为_.【答案】(0,1【解析】【分析】化简函数 ()2sin6f xx，令()62xkkZ，求得323kx，根据题
16、意得出 2233，即可求解.【详解】由题意，函数 ()3sincos2sin6f xxxx，令()62xkkZ，可得32()3kxkZ，在 y 轴右边，且靠 y 轴最近的两条对称轴方程分别为23x，53x，由最近两条对称轴之间的距离为，必有236，可得02，可得 233，必有 2233，可得01，所以 的取值范围为(0,1.故答案为：(0,1.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()yAwx 的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点
17、、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤.17.在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且(coscos)sinsin2aBbAAaC.（1）求C；（2）若点 D 为线段 BC 的中点，2b，7AD，求 AB 边的长度.【答案】（1）3；（2）2 7.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角的正弦公式将已知条件化简可得1cos2C，结合0C即可求解；（2）设CDx，在ACD中利用余弦定理可求CD 的长，即可求出 BC，在 ABC 中利用余弦定理可求 AB
18、 边的长度.【详解】（1）因为(coscos)sin2 sincosaBbAAaCC，由正弦定理可得：(coscos)2cosa aBbAacC，有coscos2 cosaBbAcC，由正弦定理有sincossincos2sincosABBACC，有sin()2sincosABCC，由0C，有sin0C，有1cos2C，可得3C.（2）设CDx，在ACD中，2427xx，解得3x 或1x (舍去).在 ABC 中，22364 122 7cBCACACBC.故 AB 边的长度为2 7.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用正弦定理和二倍角公式可得(coscos)2cosa aBbAacC，即 c
19、oscos2 cosaBbAcC，再次利用正弦定理可得sin()2sincossinABCCC，所以1cos2C，进而可得3C，第二问先在ACD中，利用余弦定理求出CD 的长，也即是求出 BC 的长，在 ABC 中再次利用余弦定理可以求出 AB 边的长度.18.已知等差数列 na的前n 项和为nS，410S，836S.（1）求数列 na的通项公式；（2）记3nnnab，求数列 nb的前n 项和nT.【答案】（1）nan；（2）32344 3nnnT【解析】【分析】（1）设等差数列 na的公差为 d，由已知条件可得出关于1a、d 的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列 na的通项公式；（2）
20、求得3nnnb，利用错位相减法可求得nT.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，有4181461082836SadSad，解得11ad，所以，1111naandnn ，故数列 na的通项公式为nan；（2）由（1）有3nnnb 有211213333nnnnnT，两边乘以 13，有231112133333nnnnnT，两式作差有2311111112111111233313333333322 313nnnnnnnnnnT，因此，32344 3nnnT.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于nna b型数列，其中 na是等差数列，nb是等比数
21、列，利用错位相减法求和；（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nna a 型数列，其中 na是公差为 0d d 的等差数列，利用裂项相消法求和.19.已知函数()sin(0,0,)3f xAxAxR的部分图象如图所示，Q，M，R为该图象与 x 轴的交点，点,PP xA 在图象上，PRPQ，4 3PQ.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()12,8g xf xx，求函数()g x 的单调递增区间.【答案】（1）()2 3sin43f xx；（2）52,3和 17,83.【解析】【分析】（1）根据题意推出PRM为正三角形，结合4 3PQ，可解得,A ；（2）求出()g
22、 x 后，利用正弦函数的单调递增区间可求得结果.【详解】（1）连接 PM，因为 PRPQ，M 为QR 的中点，所以 PMRM.又由图象性质知 PMPR，所以PRM为正三角形，所以60PRM，30PQR.因为4 3PQ，所以sin302 3PyPQ，3cos3064QPxxPQT，所以2 3PAy，8T，24T，所以()2 3sin43f xx.（2）由（1）得()(1)2 3sin412g xf xx，令 2224122kxk，kZ，得758833kxk，kZ，令0k，得7 5,3 3x；令1k，得17 29,33x.因为2,8x，所以()g x 的单调递增区间为52,3和 17,83.【点睛
23、】关键点点睛：第一问根据题意推出PRM为正三角形是解题关键，第二问利用正弦函数的单调递增区间求解是解题关键.20.如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA 底面 ABC，D 为 BC 的中点，点 P 在棱1BB 上，5ABAC，2BC，12AA.（1）求证：AD 平面11BCC B；（2）若点 B 到平面 APC 的距离为 4 2121，请确定点 P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）点 P 为1BB 的中点.【解析】【分析】(1)由等腰三角形性质和线面垂直的性质可得 ADBC，1BBAD，结合线面垂直的判定定理可证出 AD 平面11BCC B.(2)设 BPh，在APC中，结合余弦定
24、理可得cosAPC，进而可求出sinAPC，结合三角形的面积公式可求出APCS，即可求出P ABCV，结合已知条件即可求出h.【详解】（1）证明：ABAC，BDCD，ADBC.1AA 底面 ABC，AD 平面 ABC，1AAAD.又11/AA BB，1BBAD，ADBC，1ADBB，1BCBBB，BC，1BB 平面11BCC B，AD平面11BCC B.（2）由5AB，1BDCD，可得2AD，设 BPh，则1122 2323P ABCVhh ，在Rt ABP 中，2225APABBPh.在RtBCP中，2224PCBCBPh，在APC中，22222225452cos25454hhhAPChhh
25、h，22222222516sin15454hhAPChhhh，有2222221516516452254APChhShhhh，有222 21 51614 21516321263B ACPhhV，又由P ABCB ACPVV，有22 21 5162633hh，解得1h，故若点 B 到平面 APC 的距离为 4 2121，则点 P 为1BB 的中点.【点睛】关键点睛：本题的关键是结合余弦定理和三角形的面积公式求出三角形 APC 的面积，结合三棱锥体积公式和已知条件可求出 BP.21.已知正项数列 na的前 n 项和为nS，11a ，当2n 且*nN 时，211nnSS.（1）求数列 na的通项公式；
26、（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数 p，q，r 成等差数列，使得1pS，1qS，1rS 也成等差数列.【答案】（1）21nan；（2）不存在.【解析】【分析】（1）由已知可得当2n 且*nN 时，有121nnnSSS ，可得21nnSa，1n 仍成立，故21nnSa，平方后得2421nnnSaa，2n 221114442121nnnnnnnaSSaaaa化简可得12nnaa，可得数列 na是等差数列，从而求得数列 na的通项公式；（2）由题意有2prq，又由（1）可知2(121)2nnnSn可得22222222()8112()prqprprp rSSSp rpr，由 pr，有222prp
27、r，故22222()8prprp r，112prqSSS，所以不存在三个互不相等的正整数 p，q，r 成等差数列，使得1pS，1qS，1rS 也成等差数列.【详解】解：（1）当2n 且*nN 时，有121nnnSSS ，可得21nnSa，由11a ，满足该式，可得当*nN 时，有21nnSa，平方后可得2421nnnSaa 当2n 且*nN 时，有 221114442121nnnnnnnaSSaaaa 可化为221120nnnnaaaa 有1120nnnnaaaa 由0na，有12nnaa，可得数列 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，有12(1)21nann 故数列 na的通项公式为
28、21nan （2）由题意有2prq 又由（1）可知2(121)2nnnSn 有2222222221121121121181()()4prqSSSprqprprprpr 2222222222222()88()()prprp rprp rprp rpr 由 pr，有222prpr，22()(2)4prprpr，有22222()8prprp r 可得112prqSSS 故不存在三个互不相等的正整数 p，q，r 成等差数列，使得1pS，1qS，1rS 也成等差数列.【点睛】给出nS 与na 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用1nnnaSS 转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S
29、n的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求an.22.已知函数2()e()xf xa xxaR，且函数()f x 有且仅有两个极值点1x，2x(其中12xx).（1）求实数 a 的取值范围；（2）证明：154afx.【答案】（1）e,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数()f x 求导，令()()g xfx，根据题中条件，得到函数()g x 有且仅有两个零点，对()g x 求导，分别讨论0a 和0a 两种情况，利用导数的方法判定其单调性，求出最值，结合函数零点个数，即可求出结果；（2）先由（1）得到121ln(2)42xaxa，11e2xaxa，将1f x化简整理，即可
30、求出其范围，证明结论成立.【详解】（1）()e2xfxaxa 令()e2xg xaxa，由函数()f x 有且仅有两个极值点1x，2x，可知函数()g x 有且仅有两个零点；又()e2xg xa.当0a 时，()0g x，此时函数()g x 单调递增，不可能有两个零点，不合题意；当0a 时，由()0g x可得ln(2)xa；由()0g x可得ln(2)xa；因此函数()g x 的增区间为(ln(2),)a ，减区间为(,ln(2)a 若函数()g x 有且仅有两个零点，必有min()(ln(2)22 ln(2)1 2ln(2)0g xgaaaaaaa，可得e2a，又由e2a，有1ln(2)2a
31、，121e02g 令2e()(0)xh xxx，有243e2 e(2)e()xxxxxxh xxx，当0,2x时，()0h x，则函数()h x 单调递减；当(2,)x 时，()0h x，则函数()h x 单调递增；所以2e()(2)14h xh，可得当：0 x 时，2exx 当4xa且2xa时，22221111()22(4)202222g xxaxaxaxxax xaxa 故当函数 f x 有两且仅有两个极值点时，实数 a 的取值范围为e,2（2）由（1）可知121ln(2)42xaxa，且11e20 xaxa，可得11e2xaxa 122211111111e21xf xa xxaxaa xxaxx 21155244aax，故有154afx.【点睛】思路点睛：已知函数极值点个数求参数时，一般需要对函数求导，将函数极值点个数转为导函数的零点个数进行求解，将导函数记作新的函数，利用导数的方法研究新函数的单调性和最值等，结合零点个数即可求解（有时需要利用数形结合的方法求解）.
