1、基础达标已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是_解析：由图知PF1PF22a.连结MO，则F1MMOa(aF1O)故M的轨迹是以F1、O为焦点的椭圆答案：椭圆已知动点M到A(2，0)的距离等于它到直线x1的距离的2倍，则点M的轨迹方程为_解析：设M(x，y)，由题意，得2|x1|.化简，得3x212xy20.答案：y23x212x已知动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为_解析：设焦点坐标为(x，y)，因动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，根据抛物线的定义得：1(x0)，即(x1)2y21(x0)答案：(x1)2
2、y21(x0)设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为_解析：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线答案：抛物线设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰RtOPQ，则动点Q的轨迹是_解析：设Q(x，y)，P(1，y0)，由0知y0yx.又由OQOP，得，即x2y21y.由消去y0，得点Q的轨迹方程为y1或y1.故动点Q的轨迹是两条平
3、行线答案：两条平行线在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B(2，0)，若|(O为坐标原点)，则动点A的轨迹是_解析：设A(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，因为|，所以x(x2)y22，即(x1)2y23，所以动点A的轨迹是圆答案：圆长度为1的线段AB在x轴上运动，点P(0，1)与点A连结成直线PA，点Q(1，2)与点B连结成直线QB，则直线PA与QB交点的轨迹方程为_解析：如图所示，设直线PA与QB的交点为M(x，y)再设A(a，0)(a0)，则B(a1，0)由截距式得直线PA的方程为1，即xaya.由两点式得直线QB的方程为，即2xay2a20.故点M的坐标是方程组的解，消去参数a
4、得(2x)y2，故点M的轨迹方程为(2x)y2.答案：(2x)y2曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由PF1PF2a2，可得 a2(a1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故不正确点P(x，y)在曲线C上，点P关于原点的对称点P(x，y)，将P代入曲线C的方程等式成立，故正确设F1PF2，则SF1PF2PF1PF2sin a2sin a2，故正确答案：ABC的顶点A
5、固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程解：如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)设ABC的外心为M(x，y)，作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线BC2a，BNa，MN|y|.又M是ABC的外心，MAMB.而MA，MB ， .化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.如图，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程解：设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N点的坐标
6、为(2xx0，2yy0)又点N在直线xy2上，所以2xx02yy02，即x0y02x2y2.又QNl，kQN1，即x0y0xy.由，得x0(3xy2)，y0(x3y2)又因为点Q在双曲线上，所以(3xy2)2(x3y2)21.化简，得(x)2(y)2.所以线段QN的中点P的轨迹方程为(x)2(y)2.能力提升设向量i，j为平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a(x3)iyj，b(x3)iyj，且|a|b|2，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是_解析：因为|a|b|2，所以2，其几何意义是动点P(x，y)到定点(3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P(x
7、，y)的轨迹是以点(3，0)和(3，0)为焦点，且2a2的双曲线的一支，由c3，a1，解得b2c2a28，故点P(x，y)的轨迹方程是x21(x0)或(x1)答案：x21(x0)或(x1)如图， 半径为1的圆C过原点，Q为圆C与x轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C在x轴上方的一条切线，当圆心C运动时，则点R的轨迹方程为_解析：设圆心C的坐标为(x0，y0)(x00)，则点Q、P的坐标分别为(2x0，0) 、(x0，y01)，得PQ的中点M的坐标为(，)，因为OQRP为平行四边形，PQ的中点M也是OR的中点，所以可得R点坐标为(3x0，y01)，令R点坐标为(x，y)，则即，又
8、xy1，代入得(y1)21，故点R的轨迹方程为(y1)21(x0，x2)答案：(y1)21(x0，x2)已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足AB2，点P在线段AB上，且t(t是不为零的常数)设点P的轨迹方程为C.(1)求点P的轨迹方程C；(2)若t2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上)，点Q坐标为(，3)，求QMN的面积S的最大值解：(1)设A(a，0)，B(0，b)，P(x，y)，因为t，即(xa，y)t(x，by)，所以，则，由题意知t0，因为AB2，a2b24，即(1t)2x2()2y24，所以点P的轨迹方程为：1.(2)t2时，轨迹方程C为y21，设M(x1
9、，y1)，则N(x1，y1)，MN2，设直线MN的方程为：yx(x10)，点Q到直线MN的距离为：d，所以SMNQ2，又1，所以9x4.所以S49x1y1，而12，所以9x1y14，当且仅当，即x1y1时，取等号所以SMNQ的面积最大值为2.(创新题)已知点M(4，0)，N(1，0)，若动点P满足6|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若，求直线l的斜率的取值范围解：(1)设动点P(x，y)，则(x4，y)，(3，0)，(1x，y)由已知得3(x4)6，化简得3x24y212，即1.所以点P的轨迹C的方程为1.(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为yk(x1)，设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得(4k23)x28k2x4k2120.因为N在椭圆内，所以0.所以因为(x11)(x21)y1y2(1k2)(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)1(1k2).所以，解得1k23，所以k1或1k.