1、课时作业46立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系授课提示：对应学生用书第246页一、选择题1已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，)B(，)C(，) D(，)解析：(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，令x1，则y1，z1，n(1,1,1)，单位法向量为：(，)答案：D2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析：，、共面，AB与平面CDE平行或在平面CDE内答案：D3ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC
2、边上的高BD等于()A5 B.C4 D2解析：设，又(0,4，3)，则(0,4，3)(4，5,0)，(4,45，3)，故0，得，(4，)，|5.故选A.答案：A4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，且()0，又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.答案：B5如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1)
3、 B(，1)C(，1) D(，1)解析：建立如图所示空间直角坐标系cxyz，设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO，则O(，0)，又E(0,0,1)，A(，0)，(，1)，(x，y，1)，AM平面BDE，答案：C6如图所示，在长方体ABCDABCD中，ABADAA(0)，E，F分别是AC和AD的中点，且EF平面ABCD.求的值为()A1 B.C2 D4解析：以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设AAAD2，则AB2，D(0,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,2)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，E(1，2)，F(1,0,0)，(0，2)，(2,0
4、,0)，(0,2，2)，因为EFDA，EFAB，所以0，0，即2240，所以.答案：B二、填空题7(2018广州质检)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.答案：8(2018潍坊模拟)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：0，0，ABAP
5、，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误答案：9如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点判断AB1_平面A1BD(平行，垂直)解析：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)(1,2，)，(2,1,0
6、)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，因为n，n，由.令x1，得y2，z，故n(1,2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1,2，)，所以n，即AB1平面A1BD.答案：垂直三、解答题10已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：B1F平面AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(2,2，4)，(2，2
7、，2)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF，(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.11在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.(1)设平面C1E1F的法向量为n(x，y，z)因为，(1,0,1)，所以即令x1，得n(1,2,1)因为(1，1
8、,1)，n1210，所以n.又因为CE平面C1E1F，所以CE平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，所以即令a1，得m(1,0,1)因为mn1(1)2011110，所以平面C1E1F平面CEF.能力挑战12如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由解析：(1)证明设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO
9、60，A1O2AAAO22AA1AOcos 603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设CC1，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设n3(x3，y3，z3)平面DA1C1，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n3(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，则n3，即n30，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.
