1、第33讲立体几何中的范围与最值问题 一、单选题1（2021广西南宁市东盟中学模拟预测（理）已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）ABCD2（2021河南省实验中学高三期中（理）棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ）ABCD13（2021四川成都高三期中（文）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，有下列结论：若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为；若在线段上运动，则的最小值为；若在以为直径的球面上运动，当三棱锥
2、体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.其中正确结论的个数为（ ）ABCD4（2021河南高三月考（理）如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜边旋转一周，在旋转的过程中，有下列说法：三棱锥体积的最大值为，三棱锥体积的最小值为存在某个位置，使得设二面角的平面角为，且，则.其中所有正确说法的序号是（ ）ABCD5（2021云南师大附中高三月考（理）已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为，F在平面
3、内的射影为，长度为，则PQ长度的最小值是（ ）ABCD6（2021云南师大附中高三月考（文）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE+B1E取得最小值，则此最小值是（ ）A4BCD7（2021甘肃嘉峪关市第一中学高三开学考试（理）已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，三棱柱的侧面积为，则球表面积的最小值是（ ）ABCD8（2021江苏海安高级中学高三期中）如图所示，在直三棱柱中，P是上的一动点，则的最小值为（ ）ABCD39（2021海南三模）直四棱柱的所有棱长均相等，是上一动点，当取得最小值时，直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD10（2021全国
4、高三开学考试（文）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法不正确的是（ ）AB三棱锥的体积为定值C平面平面D的最小值为11（2021四川高三月考（理）如图，点是棱长为正方体中的侧面内（包括边界）的一个动点，则三棱锥的体积的最大值是（ ）ABCD12（2021山西祁县中学高三月考（文）已知三棱锥的外接球为球，是边长为的正三角形，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ）ABCD13（2021浙江金华高三月考）已知四面体，平面，于E，于F，则（ ）A可能与垂直，的面积有最大值B不可能与垂直，的面积有最大值C可能与垂直，的面积没有最大值D不可能与垂直，的面积没有最大值14（2021浙江
5、高三月考）九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，且下列说法正确的是（ ）A四棱锥为“阳马”B四面体为“鳖臑”C四棱锥体积的最大值为D过点分别作于点，于点，则15（2021浙江高三专题练习）已知三棱锥的顶点在底面的射影与的垂心重合，且若三棱锥的外接球半径为，则的最大值为（ ）ABCD16（2021甘肃省民乐县第一中学三模（理）正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）ABCD17（202
6、1全国高三专题练习）如图，已知平面，是上的两个点，在平面内，且，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（ ）AB16C48D144二、多选题18（2021江苏苏州高三期中）如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，P是上的一个动点，则（ ）A的最小值为B当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变C的最小值为D三棱锥的外接球表面积为19（2021广东湛江高三月考）如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜边旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A三棱锥体积的最大值为B三棱锥体积的最小值为C存在某个位置，使得D设二面角的平面角为，且，则20（2021福建福州三中高三月
7、考）如图，已知圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2C是圆O上异于A，B的一点，D为弦AC的中点，E为线段PB上异于P，B的点，以下正确的结论有（ ）A直线平面PDOBCE与PD一定为异面直线C直线CE可能平行于平面PDOD若，则的最小值为21（2021广东高三月考）在直角三角形中，a，b为空间中两条互相垂直的直线，所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，下列结论正确的有（ ）A当直线与a成角时，与b成角；B当直线与a成角时，与b成角；C当直线与a成角时，与b成角；D直线与b所成角的最小值为；22（2021重庆西南大学附中高三月考）已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上
8、底面圆上一点，且，则下列说法正确的有（ ）A直线SA与直线所成角最小值为B直线SA与直线所成角最大值为C圆台存在内切球，且半径为D直线与平面所成角正切值的最大值为23（2021湖北黄石高三开学考试）如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，两点，设，以下说法中正确的是（ ）A平面平面B四边形的面积最小值为1C四边形周长的取值范围是D四棱锥的体积为定值24（2021江苏海安高级中学高三期中）在棱长为1的正方体中，点满足，则以下说法正确的是（ ）A当时，平面B当时，存在唯一点使得与直线的夹角为C当时，长度的最小值为D当时，与平面所成的角不可能为25（2021广东高三开学考试
9、）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，其中，则下列说法正确的是（ ）A当=时，三棱锥P-EFD的体积为定值B当=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是C的最小值为D存在唯一的实数对，使得EP平面PDF26（2021山东潍坊高三期中）已知正方体的棱长为，下列结论正确的有（ ）A异面直线与所成角的大小为B若是直线上的动点，则平面C与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是D若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截正方体所得截面面积的最大值是27（2021山东安丘市普通教育教学研究室高三月考）如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，则下列结论正确的
10、是（ ）A圆锥的侧面积为B三棱锥体积的最大值为C的取值范围是D若，为线段上的动点，则的最小值为28（2021广东广州高三月考）如图，矩形中，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是（ ）A翻折到某个位置，使得B翻折到某个位置，使得平面C四棱锥体积的最大值为D点在某个球面上运动29（2021山东师范大学附中高三开学考试）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题30（2021河南高三月考（理）已知正三棱柱内有个半径为的半球，若这个半球的球面
11、两两相切，且其中个半球的球心在该棱柱底面上.则正三棱柱侧面积的最小值为_.31（2021广东龙岗高三期中）已知正方体的棱长为，点为中点，点在四边形内（包括边界），点到平面的距离等于它到点的距离，直线平面，则的最小值为_.32（2021河南高三月考（文）2021年7月，某学校的学生到农村参加劳动实践，一部分学生学习编斗笠，一种用竹篾或苇蒿等材料制作外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”（如图），一部分学生学习制作泥塑几何体，现有一个棱长为的正方体形状泥块，其各面的中心分别为点，将正方体削成正八面体形状泥块，若用正视图为正三角形的一个“灯罩斗笠”罩住该正八面体形状泥块，使得正八面体形状泥块可以在“灯
12、罩斗笠”中任意转动，则该有底的“灯罩斗笠”的表面积的最小值为_.33（2021全国高三专题练习）在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线上移动，若，则长度的最小值为_34（2021浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，若为的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_.35（2021广东实验中学高三月考）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为_36（2021河北高三月考）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为平面平面点在上，且过点作四边形外接球的截面则截面面积最大值与最小
13、值之比为_.37（2021全国模拟预测）在梯形中，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为_.38（2021甘肃嘉峪关市第一中学模拟预测（文）已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为_.39（2021陕西西安中学高三月考（理）已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点则下列结论中正确的结论的序号为_线段的长度为；若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；的余弦值的取值范围是；周长的最小值为40（2021河北衡水中学高三月考）如图，在棱长均
14、为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是_.41（2021全国模拟预测）在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是_.42（2021山东菏泽二模）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，若侧面BCC1B1（含边界）内动点P满足BP=2PC，则线段DP长度的最大值为_ 43（2021全国模拟预测（文）词语“鳖膈”等出现自我国数学名著九章算术商功，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膳”，如图，三棱锥是一个鳖，其中，三棱锥的接球的表面积为12，则三棱锥的体积的最大值为_
15、44（2021全国模拟预测（理）如图所示，在棱长为的正四面体中，点，分别为，的中点，现用一个与垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为_45（2021重庆模拟预测）已知球的表面积为，点均在球的表面上，且，则四面体体积的最大值为_.46（2021四川川大附中模拟预测（理）已知三棱锥三条侧棱、两两互相垂直，且，分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则，两点间的距离最大值为_47（2021内蒙古通辽新城第一中学模拟预测（理）如图，长为4，宽为2的矩形纸片中，为边的中点，将沿直线翻转至(平面)，若为线段的中点，则在翻转过程中，下列正确的命题序号是_.平面；异面直线与所成角是定值；三棱锥体积的最大值是；一定存在某个位置，使48（2021全国全国模拟预测）已知三棱锥外接球的半径为3，则三棱锥体积的最大值为_49（2021四川德阳三模（理）在直角三角形中，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则边长的最大值为_.50（2021湖北华中师大一附中模拟预测（文）已知四棱锥的五个顶点都在球的表面上，若底面是梯形，且，则当球的表面积最小时，四棱锥的高的最大值为_51（2021北京海淀模拟预测）已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_
