1、九江一中2012-2013学年下学期期中考试高二数学试卷满分:150分 考试时间:120分钟 审题人:高二备课组一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知为等差数列，其公差为-2，且的等比中项，为的前项和，则的值为 ()A-110 B-90 C90 D1103已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 ( )A. B. C. 或 D. 或74.已知二次函数在处的导数值为1,该函数的最大值为 ( )ABCD5由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是 ()A 48B60C84D
2、1206若，直线与直线互相垂直，则的最小值 ( )A1 B2 C D7已知命题：若数列为等差数列，且则；现已知等比数列，若类比上述结论，则可得到 ()A. B. C. D. 8从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 ()A228个 B252个 C300个 D324个9已知抛物线的焦点F恰为双曲线（a0,b0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为 () A B1 C2 D210已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意，存在正数，都有成立，那么称函数是上的“倍约束函数”，已知下列函数：；，其中是“倍
3、约束函数”的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题5分，共25分）11的展开式中常数项是_ 12由抛物线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体_13已知实数满足条件，为虚数单位），则的最小值是_14如果，那么=_. 15下列命题：若存在导函数，则；若函数，则；若函数，则；若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;函数的单调递增区间是其中真命题为_(填序号)三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值28，求在3,3上的最小值17正数数列中，.(1)求；(2)猜想的表
4、达式并证明18 已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；(2)若对于都有成立，试求的取值范围；(3)记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.19等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上(1)求的值；(2)当时，记，证明：对任意的，不等式成立20已知双曲线满足：实轴长为，离心率为.（1）求曲线的方程;（2）设斜率为1的直线交于两点，若与圆相切，求证：.（3）设椭圆. 若分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.21.已知函数，其中.（1）求的单调区间；（2）求证：.九江一中2012-2013学年下学期期中考试高二数学试卷参 考 答 案一选择题
5、（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ADCBCBACBC二填空题（每小题5分，共25分）11 12 13. 14. 1 15. 三解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得a1，b12.(2) 由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x
6、12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x12处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.17. (1)Sn，a1，解得a11由a1a2得a1a2得a21.由a1a2a3得a3，a11，a21，a3.(2)猜想：an.证明：n1时显然正确；设nk时成立，即ak，则nk1时，ak1Sk1Skak122ak110，解得ak1(取正值)即nk1时命题也成立由知命题对任意nN都成立18. (1) 直线的斜率为1.因为，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区
7、间是. (2) ，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则. 由解得.所以的取值范围是. (3)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. 又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.所以的取值范围是. 19(1)解因为对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上所以得Snbnr，当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，所以an(b1)bn1.(2)证明当b2时，an
8、(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n.则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立假设当nk(kN*)时不等式成立，即成立则当nk1时，左边 .所以当nk1时，不等式也成立由可得不等式恒成立 20解（1）双曲线. （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即. 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. 所以 ，故OPOQ. （3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.由，得，所以.同理. 设O到直线MN的距离为d，因为所以，即d=.综上，O到直线MN的距离是定值. 21（1） 若，则的增区间是：，减区间是：和 若，则的减区间是，无增区间 若，则的增区间：，减区间是 若，的减区间是，增区间是（2）由（1）知：当时，即即：恒成立， ，当且仅当时取“=” 转化为证明： 用数学归纳法证明如下：当时，左端右端成立，假设当时，有成立则当时， 对均成立即有：恒成立.
