1、教学设计1.2.4解决有关三角形计算的问题从容说课本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题. 关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形
2、的高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式S= absinC,S= bcsinA,S=casinB.教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教具准备 三角板、投影仪等三维目标一、知识与技能1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、过程与方法1.本节课补充了三角形新
3、的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点三、情感态度与价值观1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；2进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.教学过程导入新课 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、
4、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？生hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=BsinA.师 根据以前学过的三角形面积公式,应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？生 同理，可得,.师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.推进新课【例1】 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2）.（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5;（2）已
5、知B=62.7,C =65.8,B =3.16 cm;（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积生口答，师书写过程解：（1）应用，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm2).(2)根据正弦定理，,.A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5,4.0(cm2).(3)根据余弦定理的推论，得0.769 7,0.638 4,应用得S=41
6、.438.70.638 4511.4(cm2).生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论
7、，0.753 2,0.657 8,应用S= acsinB,S=681270.657 82 840.38(m2).答：这个区域的面积是2 840.38 m2【例3】在ABC中，求证：（1）;（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）. 师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?生等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明.师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式
8、时经常用的方法证明：（1）根据正弦定理，可设,显然 k0，所以左边=右边.师 那对于第二小题又该怎么化呢？生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.师 很好，哪位来板演一下？生 证明：（2）根据余弦定理的推论，右边=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.1.已知在ABC中，B=30,B=6,C=6,求A及ABC的面积S.提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检
9、验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论.答案：A=6,S=9;A=12,S=18.2.判断满足下列条件的三角形形状，(1)acosA = bcosB;(2)sinC =.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明生（余弦定理）得,c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).a2=b2或c2=a2+b2.根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.生（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB.sin2A=sin2B.2A=2
10、B.A=B.根据角的关系易得是等腰三角形.师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生 第一位同学的正确第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90.(2)（解略）直角三角形. 如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC =，求：(1)AB的长;(2)四边形ABCD的面积.略解：（1）因为BCD=75,ACB=45，所以ACD=30.又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+ 45+ 30）=30.所以AD=DC =.在BCD中，
11、CBD=180-（75+ 45）=60，所以.在ABD中，AB2=AD2+ BD2-2ADBDcos75= 5,所以,得AB=.(2)SABD=ADBDsin75=.同理，SBCD=.所以四边形ABCD的面积.课堂练习课本第21页练习第1、2题.课堂小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式解有关已知两边和其中一边对角的问题，注
12、重分情况讨论解的个数同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯布置作业课本第22页习题1.2第12、14、15题.板书设计解决有关三角形计算的问题例1例2例3 变题1补充练习: 变题2习题详解（课本第21页练习）1.(1)约168.52 cm2；(2)约121.75 cm2；(3)约425.39 cm2.2.约4 476.40 m2.3. (1).(本题结论称为正切定理)(2)右边bcosC+ccosB= =左边. 类似可以证明另外两个等式.(本题的结论称为射影定理)(课本第22页习题1.2)A组1.在ABC中, BC=350.5=17.5 n mil
13、e,ABC=148-126=22,ACB=78+(180-148)=110,BAC=180-110-22=48,根据正弦定理得,9(n mile).货轮到达C点时与灯塔的距离约是9 n mile.2.70 n mile3.在BCD中,BCD=30+10=40,BDC=180-ADB=180-45-10=125,CD=30=10(n mile),根据正弦定理,得,.在ADB中,ADB=45+10=55,BAD=180-60-10=110,ABD=180-110-55=15,根据正弦定理, ,就是,6.84(n mile),21.65(n mile).如果一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为2
14、0+60+1030+60=86.98(min)即约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B岛.4.约5 821.71 m.5.在ABC中,AB=700 km,ACD=180-21-35=124,根据正弦定理,786.89(km).所以路程比原来远了约86.89 km.6.飞机离A处探照灯的距离是4 801.53 m,飞机离B处探照灯的距离是4 704.21 m,飞机的高度约是4 574.23 m.7.飞机在150秒内飞行的距离是d=1 0001 000m,根据正弦定理, ,这里x是飞机看到山顶的俯角为81时飞机与山顶的距离,飞机与山顶的海拔的差是14 721.64(m),山顶的海拔是
15、20 250-14 721.6455 828 m.8.在ABT中,ATB=21.4-18.6=2.8,ABT=90+18.6,AB=15(m),根据正弦定理,得.塔的高度为106.19(m).9. =97.8km,在ACD中，根据余弦定理得=101.235.根据正弦定理得,0.514 4,ACD30.96,ACB133-30.96=102.04.在ABC中,根据余弦定理,得=245.93,0.584 7,BAC=54.21.在ACE中,根据余弦定理,得=90.75,0.425 4,AEC=64.82,180-AEC-(180-75)=75-64.82=10.18.所以飞机应该以南偏西10.18
16、的方向飞行,飞行距离约90.75 km.10.如图,在ABC中,根据余弦定理,得=37 515.44(km),-0.692 4,BAC133.82,BAC-9043.82.仰角为43.82.11. (1)S=acsinB=2833sin45326.68(cm2).(2)根据正弦定理,得,S= acsinB=362sin(32.8+66.5)1 082.58(cm2).(3)约为1 597.94 cm2.12. nR2sin.13.根据余弦定理,得,所以mA2=()2+c2-2ccosB=()22(b2+c2)-a2,所以.同理,. 14.根据余弦定理,所以,左边c(acosB-bcosA)=c
17、(a)=(2a2-2b2)=a2-b2=右边.B组1.根据正弦定理, ,所以,代入三角形面积公式,得.2.(1)根据余弦定理的推论,由同角三角函数之间的关系, ,代入S= absinC,得=,记p= (a+b+c),则可得到 (b+c-a)=p-a, (c+a-b)=p -b,(a+b-cC)=p -c.代入可证得公式.(2)三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式S=2pr=pr,其中p= (a+b+c),所以.(3)根据三角形面积公式S=ahA,所以,即,同理,.备课资料1.半角定理在ABC中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:,其中p=（a+b+c).证明:,因为sin0,
18、cos0,所以.因为p = (a+b+c),所以a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).所以.而所以.所以.同理,可得,.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:.同理可得2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在ABC中(如右图),已知三边a、b、c,如果三个角A、B和C的平分线分别是tA、tB和tC，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：;.证明：设AD是角A的平分线，并且BD=x，DC=y,那么，在ADC中，由余弦定理，得tA2=b2+y2-2bycosC,根据三角形内角平分线的性质，得,所以.因为x+y=a,所以.所以.将代入,得=.因为,所以= =所以.同理,可得.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在ABC中,已知三边a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径R的公式是.证明: 因为,所以.所以.