1、专题限时集训(八)空间几何体表面积或体积的求解 建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标一、选择题1(2016杭州二中第五次月考)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图815所示，则其俯视图为()图815C根据正视图和侧视图知，正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，所以它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以一个实线画出的三角形，左上角是一个以实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图所示，故选C.2(2016郑州一模)一个几何体的三视图如图816所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为() 【导学号：58962036】图816A.B.C2 D.B
2、由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，体积V，故选B.3(2016开封一模)在三棱锥PABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，则该三棱锥的外接球表面积为() 【导学号：58962037】A. B.C. D.D由题可知，ABC中AC边上的高为，球心O在底面ABC的投影即为ABC的外心D，设DADBDCx，x232(x)2，解得x，R2x221(其中R为三棱锥外接球的半径)，外接球的表面积S4R2，故选D.4(2016湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图817所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为()图817A.B2 C3D4B分析题意可知，该几何体是由如图所示的
3、三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V22322，故选B.5(2016广州二模)如图818，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()图818A884B882C22D.A在正方体中还原出该四面体CA1EC1如图所示，可求得该四面体的表面积为884.二、填空题6(2016嘉兴教学测试(二)某几何体的三视图如图819所示(单位：cm)，则该几何体的体积为_cm3，表面积为_ cm2.图819由三视图知该几何体为一个半球被割去后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为13，表面积为41212212.7(2016山东省实验中学模拟
4、)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.如图，设SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.8半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_. 【导学号：58962038】16()设内接正四棱柱底边长为a，高为h，那么162a2h22ah，正四棱柱的侧面积S4ah16，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16()三、解答题9(2016合肥二模)如图
5、820，P为正方形ABCD外一点，PB平面ABCD，PBAB2，E为PD的中点图820(1)求证：PACE；(2)求四棱锥PABCD的表面积解(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC，又BCAB且PBABB，BC平面PAB，BCPA.3分PBAB，BFPA，又BCBFB，PA平面EFBC，PACE.6分(2)设四棱锥PABCD的表面积为S，PB平面ABCD，PBCD，又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD为直角三角形，8分由(1)知BC平面PAB，而ADBC，AD平面PAB，故ADPA，即PAD也为直角三角形SA
6、BCD224，SPBCSPABSPDA222，SPCD22，12分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD102.15分10(2016湖北七市模拟)如图821，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.图821(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高解(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，
7、所以平面DEFG平面ABB1A1.6分(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDEABC，且SCDES，所以S四边形ABEDS.11分由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.15分B组名校冲刺一、选择题1(2016杭州质量检测)如图822，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角
8、形)，则这个几何体可能为()图822A三棱台 B三棱柱C四棱柱 D四棱锥B根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示这是一个三棱柱2(2016嘉兴调研)某几何体的三视图如图823所示，则该几何体的体积为()图823A. B.C. D.B根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为211211，选B.3某几何体的三视图如图824所示，则该几何体的体积为()图824A64 B4C. D2D由三视图知，该几何体为一个底
9、面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为1211222，故选D.4(2016江西上饶三模)从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP，则球的体积为()A. B.C. D.C设OP交平面ABC于O，由题得ABC和PAB为正三角形，所以OAABAP.因为AOPO，OAPA，所以，所以OA1，即球的半径为1，所以其体积为13.选C.二、填空题5(2016广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_. 【导学号：58962039】由题意知六棱柱的
10、底面正六边形的外接圆半径r1, 其高h1，球半径为R，该球的体积VR33.6如图825，在三棱锥ABCD中，ACD与BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为_图825取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AFBF，AFBF2，EF，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，所以OEOF.设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有R2AE2OE2，R2CF2OF2，所以AE2OE2CF2OF2，()2OE222OF2，所以OF2OE22，又OEOF，则OF2，R2，所以该三棱锥外接球的表面积为4R2.三、解答题7如图826，矩形CDEF和
11、梯形ABCD互相垂直，BADADC90，ABADCD，BEDF.图826(1)若M为EA中点，求证：AC平面MDF；(2)若AB2，求四棱锥EABCD的体积解(1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC中点，因为M为EA中点，所以MNAC.2分又因为AC平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF.4分(2)取CD中点为G，连接BG，EG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，所以AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，7分所以ED的长即为四棱锥EABCD的高.8分在梯形ABCD中，ABCDDG，ABDG，所以四边形A
12、BGD是平行四边形，BGAD，所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF，所以BGDF，又BEDF，BEBGB，所以DF平面BEG，DFEG.11分注意到RtDEGRtEFD，所以DE2DGEF8，DE2，所以VEABCDS梯形ABCDED4.15分8如图827，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD90，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，点O为CD的中点，连接OM.图827(1)求证：OM平面ABD；(2)若ABBC2，求三棱锥ABDM的体积解(1)证明：CMD是等腰直角三角形，CMD90，点O为CD的中点，OMCD.1分平面CMD平面BCD，平面CMD平
13、面BCDCD，OM平面CMD，OM平面BCD.2分AB平面BCD，OMAB.3分AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD.4分(2)法一：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分过点O作OHBD，垂足为点H.AB平面BCD，OH平面BCD，OHAB.6分AB平面ABD，BD平面ABD，ABBDB，OH平面ABD.7分ABBC2，BCD是等边三角形，BD2，OD1，OHODsin 60.9分V三棱锥ABDMV三棱锥MABDABBDOH22.11分三棱锥ABDM的体积为.12分法二：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分ABBC2，BCD是等边三角形，BD2，OD1.6分连接OB，则OBCD，OBBDsin 60.7分V三棱锥ABDMV三棱锥MABDV三棱锥OABDV三棱锥ABDOODOBAB12.12分三棱锥ABDM的体积为.15分