1、教学设计3.2.1几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的三维目标1借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异2恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题3让学生体会数学在实际问题中的应用价
2、值，培养学生的学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同教学难点：应用函数模型解决简单问题课时安排2课时教学过程第1课时作者：林大华导入新课思路1(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n20时它们的厚度你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)0.012n(cm)，n块砖的厚度：g(n)10n(cm)，f(20)105 m，g(20)2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的
3、了解思路2(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异推进新课提出问题(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数(2)正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数(3)某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数(4)分别用表格、图象表示上述函数(5)指出它们属于哪种函数模型(6)讨论它们的单调性(7)比较它们的增长差异(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学
4、生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路(1)总价等于单价与数量的积(2)面积等于边长的平方(3)由特殊到一般，先求出经过1年、2年(4)列表画出函数图象(5)引导学生回忆学过的函数模型(6)结合函数表格与图象讨论它们的单调性(7)让学生自己比较并体会(8)其他与对数函数有关的函数模型讨论结果：(1)yx.(2)yx2.(3)y(15%)x.(4)如下表x123456yx123456yx2149162536y(15%)x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为图1，图2，图3.图1 图2 图3(5)它们分别属于：ykxb(直线型)，yax2bxc(a0，抛物
5、线型)，ykaxb(指数型)(6)从表格和图象得出它们都为增函数(7)在不同区间增长速度不同，随着x的增大y(15%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数(8)另外还有与对数函数有关的函数模型，形如ylogaxb，我们把它叫做对数型函数例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较
6、它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y10x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN*)进行描述三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.
7、612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214 748 364.8107 374 182.4再作出三个函数的图象(图4)图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的从每天所得回报看，在第13天，方案
8、一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元下面再看累积的回报数通过计算机或计算器列表如下：因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三针对上例可以思考下面问题：选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数课本把两种回报数都列表给出的意义何在？由此得出怎样的结论答案：选择哪种方案依据的是累积回报数让我们体会每天回报数的增长变化上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其
9、增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月
10、基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大解：(1)y1500.4x(x0)，y20.6x(x0)(2)图象如图5所示图5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算另解：当y1200时有0.4x50200，x1375；当y2200时有0.6x200，x2.显然375，选用
11、“全球通”更合算点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型
12、进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润于是只需在区间上，检验三个模型是否符合公司要求即可不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果解：借助计算器或计算机作出函数y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图象(图6)图6观察函数的图象，在区间上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图象始终在y5的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金
13、总数不超过5万对于模型y0.25x，它在区间上递增，而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x05，由于它在区间上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；对于模型ylog7x1，它在区间上递增，而且当x1 000时，ylog71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x时，是否有0.25成立图7令f(x)log7x10.25x，x利用计算器或计算机作出函数f(x)的图
14、象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)0.316 70，即log7x10.25x.所以当x时，0.25.说明按模型ylog7x1奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x0)，销售数量就减少kx%(其中k为正实数)目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个(1)当k时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为ya(
15、1x%)b(1kx%)(1)取k，yx250x10 000，所以x50，即商品价格上涨50%，y最大为ab.(2)因为y，此二次函数的开口向下，对称轴为x，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在x|x0的一个子集内增大时，y也增大所以0，解得0k1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下(lg 30.477 1)解：(1)光线经过1块玻璃后强度
16、为(110%)k0.9k；光线经过2块玻璃后强度为(110%)0.9k0.92k；光线经过3块玻璃后强度为(110%)0.92k0.93k；光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.y0.9xk(xN*)(2)由题意：0.9xk.0.9x.两边取以10为底的对数，xlg 0.9lg.lg 0.90，x.10.4，xmin11.通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图8所示)假设其关系为指数函数，并给出下列说法：此指数函数的底数为2；在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；设野生水葫芦
17、蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1t2t3；野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度哪些说法是正确的？图8解：说法正确关系为指数函数，可设yax(a0且a1)由图知2a1.a2，即底数为2.253230，说法正确指数函数增长速度越来越快，说法不正确t11，t2log23，t3log26，说法正确指数函数增长速度越来越快，说法不正确活动：学生先思考或讨论，再回答教师提示、点拨，及时评价引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题课本习题3.2A组1,
18、2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材第2课时作者：张建国导入新课思路1(情境导入)国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格
19、子请给我足够的麦粒以实现上述要求”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异思路2(直接导入)我们知道，对数函数ylogax(a1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数但这三类函数的增长是有差异的本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异推进新课提出问题(1)在区间(0，)上判断ylog2x，y2x，yx2的单调性.(2)列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.(3)结合函数的图象找出其交点坐标.(4)请
20、在图象上分别标出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围.(5)由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：(1)在区间(0，)上函数ylog2x，y2x，yx2均为增函数(2)见下表与图9.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556yx20.040.3611.963.244.846.76911.56ylog2x2.3220.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766图9(3)从图象看出ylog2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数
21、的图象的下方，y2x的图象与yx2的图象有交点(4)不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)(4，)(5)我们在更大的范围内列表作函数图象(图10)，x012345678y2x1248163264128256yx201491625364964图10容易看出：y2x的图象与yx2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时x22x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示x
22、01020304050607080y2x11 0241.05E061.07E091.10E121.13E151.15E181.18E211.21E24yx201004009001 6002 5003 6004 9006 400图11一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐
23、渐地与x轴平行一样尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.综上所述，尽管对数函数ylogax(a1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.虽然幂函数yxn(n0)增长快于对数函数ylogax(a1)增长，但它们与指数增
24、长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”例1 某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x时，每月所获利润才能最大而每月所获利润卖报收入的总价付给报社的总价卖报收入的总价包含三部分：可卖出400份的20天里，收入
25、为200.30x；可卖出250份的10天里，收入为100.30250；10天里多进的报刊退回给报社的收入为100.05(x250)付给报社的总价为300.20x.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x时，每月所获利润才能最大于是每月所获利润y为y200.30x100.30250100.05(x250)300.20x0.5x625，x因函数y在上为增函数，故当x400时，y有最大值825元图12例2 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含
26、药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意，得y(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t14，t14.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2(t24)4，解得t29，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，(t34)(t39)4，解得t313.5，故第四次服药应在20：30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，
27、学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可有以下的公式：(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9，知当x10时，maxf(10)59；当10x16时，f(x)59；当16x30时，f(x)3x107，知f(x)3161075
28、9.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟(2)f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)3201074753.5，开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13(2)的抛物线段表示(1)写出图13(1)表示的市场售价与时间的函数关系Pf(t)；写出图13(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；(2)认定市场售价减去种
29、植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1)(2)图13(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)由图13(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)(t150)2100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)f(t)g(t)即h(t)当0t200时，配方整理，得h(t)(t50)2100，所以当t50时，h(t)取得区间上的最大值100；当200t300时，配方整理，得h(t)(t350)2100，所以
30、当t300时，h(t)取得区间上的最大值87.5.综上，由10087.5可知，h(t)在区间上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力探究内容在函数应用中如何利用图象求解析式分段函数解析式的求法函数应用中的最大值、最小值问题举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示其中图14(1)的折线表示的是国外市场的日
31、销售量与上市时间的关系；图14(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系图14(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元？分析：1利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式2在t上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段3回忆函数最值的求法解：(1)f(t)g(t)t26t(0t40)(2)每件A产品销售利润h(t)该公司的日销售利润当0t20时，F(t)3t
32、(t28t)，先判断其单调性设0t1t220，则F(t1)F(t2)3t1(t8t1)3t2(t8t2)0.F(t)在区间上为增函数F(t)maxF(20)6 0006 300.当20t30时，令60(t28t)6 300，则t30；当30t40时，F(t)60(t2240)60(302240)6 300，故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元点评：1利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点2在t上，有几个分界点，t20，t30两点把区间分为三段3二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一本节学习了：指数函
33、数、对数函数、二次函数的增长差异幂函数、指数函数、对数函数的应用课本习题3.2A组3,4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点本节的每个例题都很精彩，可灵活选用备课资料【备选例题】【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P(x40)2100万元当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对
34、该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q(60x)2(60x)万元问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？解：在实施规划前，由题设P(x40)2100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元则10年的总利润为W1100101 000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P(x40)2100，知每年投入30万元时，有最大利润Pmax(万元)前5年的利润和为5(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W25x2x55(x30)24 950.当x30时，(W2)max4 950(万元)从而10年的总利润为4 950(万元)4 9501 000，该规划方案有极大实施价值