1、2.4.1逆矩阵的概念1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)1B1A1等简单性质.3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.基础初探1.逆变换二阶矩阵A对应着平面上的一个几何变换，它把点(x，y)变换到点(x，y).反过来，如果已知变换后的结果(x，y)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x，y)，我们称它为原变换的逆变换.2.逆矩阵对于二阶矩阵A，B，若ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记作：A1B.3.逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是惟一的.(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且
2、(AB)1B1A1.(3)已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.4.逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A，当adbc0，矩阵A可逆，且它的逆矩阵A1.思考探究1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？【提示】恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射.2.是否每个二阶矩阵都可逆？【提示】不是，只有当中adbc0时，才可逆，如当A，因为10000，找不到二阶矩阵B，使得BAABE成立，故A不可逆.3.若二阶矩阵A，B，C
3、都是可逆矩阵，如何求(ACB)1?【提示】根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：(ACB)1B1(AC)1B1C1A1.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.(1)A；(2)B； (3)C；(4)D. 【导学号：30650035】【精彩点拨】【自主解答】(1)矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向
4、伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为A1.(2)矩阵B对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x，y)(x2y，y).它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x，y)(x2y，y)，所对应的变换矩阵记为B1.(3)矩阵C对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线yx上，它不是一一映射，在这个变换下，直线yx上的点有无穷多个原象，而平面上除直线yx外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C不存在逆矩阵.(4)矩阵D对应的是绕原点逆时针方向旋转90的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90的旋转变换，所对应的变
5、换矩阵记为D1.用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵.若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？(1)A；(2)B；(3)C；(4)D.【解】(1)A，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30的旋转变换，故A1.(2)矩阵B表示的是将平面内所有点垂直投影到x轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵.(3)矩阵C表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标
6、依纵坐标比例增加，且的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且的切变变换，故C1.(4)矩阵D表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向压缩为原来的的伸压变换，故D1.求矩阵A的逆矩阵求矩阵A的逆矩阵.【精彩点拨】思路一：设出A1，利用AA1E，构建方程组求解.思路二：利用公式A1求解.【自主解答】法一设矩阵A的逆矩阵A1，则，即，所以解得故所求的逆矩阵A1.法二注意到263530，故A存在逆矩阵A1，且A1.求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常
7、用两种解法.法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义ABBAE，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法.法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A：若adbc0，则A的逆矩阵不存在.若adbc0，则A1.判断下列矩阵是否可逆，并当它可逆时求出逆矩阵.(1)；(2).【解】(1)行列式11(1)12，矩阵可逆，逆矩阵为(2)行列式ab，当且仅当a，b都不为0时可逆，逆矩阵为求矩阵AB的逆矩阵已知A，B，求矩阵AB的逆矩阵. 【导学号：30650036】【精彩点拨】法一：A，BA1，B1B1A1法二：A，B【自主解答】
8、法一因为A，且100，A1，同理B1.因此(AB)1B1A1.法二因为A，B，AB.且1010，(AB)1.已知矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵的一般思路：先求A1，B1，再求(AB)1B1A1或先求AB，再求(AB)1.已知关于直线y2x的反射变换对应的矩阵为A，切变变换对应的矩阵为B，试求出(AB)1.【解】反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A1，B1，(AB)1B1A1.真题链接赏析(教材第65页习题2.4第5题)已知A，试求A1.(福建高考)已知矩阵A，B.求A的逆矩阵A1.【命题意图】通过矩阵转换求逆矩阵.【解】因为|A|23142，所以A1.1.对任意的二阶非零矩阵A，B，C
9、，考察下列说法：(AB)1B1A1；A(BC)(AB)C；若ABAC，则BC.其中正确的是_.【解析】中只有当A，B都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故不正确.为矩阵乘法的结合律故正确.中只有当A存在逆矩阵方可，故不正确.【答案】2.矩阵可逆的条件是_.【解析】当1d0bd0时可逆.【答案】d0 3.已知A(k0)，则A1等于_. 【导学号：30650037】【解析】设A1，则AA1，A1.【答案】4.已知A，A1，则xy_.【解析】AA1E，xy0.【答案】0我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(六)学业达标1.已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕
10、原点逆时针旋转，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】这个变换的逆变换是作关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转变换，其矩阵.2.求矩阵的逆矩阵. 【导学号：30650038】【解】法一待定矩阵法：设矩阵的逆矩阵为，则，即，所以解得故所求逆矩阵为.法二A中，011110，A1.3.已知A，B，求证B是A的逆矩阵.【证明】因为A，B，所以AB，BA，所以B是A的逆矩阵.4.已知M，N，求矩阵MN的逆矩阵.【解】因为M，N，所以MN.设矩阵MN的逆矩阵为，则，即，所以解得故所求的逆矩阵为.5.已知变换矩阵A把平面上的点P(2，1)，Q(1，2)分别变换成点P1(3，4)，Q1(0，
11、5).(1)求变换矩阵A；(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A1；如不可逆，请说明理由.【解】(1)设A，依题意，得，即解得所以A.(2)变换矩阵A是可逆的.设矩阵A的逆矩阵为， 则由，得解得故矩阵A的逆矩阵为A1.6.(江苏高考)已知矩阵A，B，求矩阵A1B. 【导学号：30650039】【解】设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.7.已知矩阵A，B，求满足AXB的二阶矩阵X.【解】因为A，所以A1.因为AXB，所以A1(AX)A1B.又因为(A1A)XA1(AX)，所以(A1A)XA1B，所以XA1B.能力提升8.二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2).(1)求矩阵M的逆矩阵M1；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：2xy4，求l的方程.【解】(1)设M，则有，所以且解得所以M，从而M1.(2)设直线l上任意一点(x，y)，在变换M作用下对应直线m上任意一点(x，y)，因为且m：2xy4，所以2(x2y)(3x4y)4，即直线l的方程为x40.
