1、湖南省益阳市箴言中学 2018-2019 学年高一数学下学期第三次月考（5月）试题（含解析）一选择题本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求 1.等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可。【详解】所以选 A【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，三角函数化简求值，属于基础题。2.在等差数列中，则的值为 A.5 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】解析：由角标性质得，所以=5 3.若扇形的面积为、半径为 1，则扇形的圆心角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设扇形的圆心角为，则扇形的面积为，半
2、径为 1，故选 B 4.已知向量，且，则的值为（）A.1 B.2 C.D.3【答案】A【解析】【分析】由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解。【详解】由题意可得，即 ，故选：A【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角 弦的 次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角 的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切。5.设成
3、等比数列，其公比为 2，则的值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】试题分析：因为成等比数列，其公比为 2，所以.因此.考点：等比数列 6.将函数的图象向左平移 个长度单位后，所得到的图象关于（）对称 A.轴 B.原点 C.直线 D.点【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式将未变换后的函数解析式化简，再根据图象变换规律得出变换后的函数的解析式为，结合余弦函数的对称性来进行判断。【详解】，函数的图象向左平移 个长度单位后得到，函数的图象关于 轴对称，故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及三角函数的对称性，在考查三角函数的基本性质问题时，应该将三角函数的解析式化为一般形式，并借助
4、三角函数的图象来理解。7.在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】A 选项中由两角与一边可知只有一解；B 选项两边及其夹角可知只有一解；C 选项中利用大边对大角知 为锐角，可求出 的正弦值，则角 确定，可知只有一解；D 选项中由正弦定理求出的值，再由大边对大角可知 为锐角与钝角，可知有两解。【详解】解：若，则由正弦定理可得，求得，故有一解；若，则由余弦定理可得，求得 只有一解，故有一解；若，则由正弦定理可得，求得，再根据，可得 为锐角，故角 只有一个，故有一解；若，则由正弦定理可得，求得，再根据，可得，可能是锐角也可能是钝角，即角 有 2 个
5、值，故有两解，故选：D【点睛】本题考查三角形解的个数问题，灵活利用正弦、余弦定理以及大边对大角定理进行判断，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。8.已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由函数图象与 轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出 的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出 的值，即可得出答案。【详解】解：由图象可得函数的周期，得，将代入可得，（注意此点位于函数减区间上）由可得，点的坐标是，故选：B【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：求、：，；求：利用一些关键点求
6、出最小正周期，再由公式求出；求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。9.若数列满足：，而数列的前 项和最大时，的值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】方法一：，数列是首项为 19，公差为-3 的等差数列 则 所以时，取最大值选 B 方法二：，数列是首项为 19，公差为-3 的等差数列，当时，；当时，所以时，取最大值选 B 点睛：求等差数列前 n 项和最值的常用方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前 n 项和(A、B 为常数)看作关于项数 n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值 10.设向量
7、 与 的夹角为，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由求出，结合，利用平面向量夹角余弦公式可得结果.详解：因为向量 与的夹角为，且，故选 A.点睛：本题主要考查向量的坐标运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.11.在中，三个内角所对的边分别为已知，且满足，则为（）A.锐角非等边三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【答案】C【解析】【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简
8、，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将，代入计算求出的值为，进而确定出 为直角，即可确定出三角形形状【详解】将已知等式，利用正弦定理化简得：，即，与 都为的内角，即，已知第二个等式变形得：，即，整理得：，即，或（舍去），则为等腰直角三角形 故选：C【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题 12.某人在 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10 米到 点
9、测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为（）A.15 米 B.5 米 C.10 米 D.12 米【答案】C【解析】试题分析：如图所示，其中，设 塔 高，在 三 角 形中，由 余 弦 定 理 得，解得，故选 C.考点：1、解三角形；2、正、余弦定理.【方法点晴】本题是一个与空间几何体相结合的解三角形问题，属于中档题.解决本题的基本思路及关键是要理清题中的各“元素”之间的关系，其中最为重要的如何将题目的条件转化为三角形中的边与角，在此基础上，结合直角三角形的边角关系以及三角形的正弦定理、余弦定理，即可求得所需结论.二填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.函数的单调增区间是_【答
10、案】【解析】【分析】先考虑函数定义域，再根据二次函数性质以及复合函数单调性确定递增区间.【详解】由得或,因为为单调递减区间，所以函数的单调递增区间是【点睛】求复合函数单调区间时先求定义域，再复合函数“同增异减”的原则确定结果.14.设向量满足及，则的值为_【答案】【解析】试题分析:由题设可得,即,所以,故,应填答案.考点：向量的模及乘法运算 15.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则的面积为_.【答案】【解析】【详解】试题分析：设三角形三边长为 a-4,b=a,c=a+4,(abc),根据题意可知三边长构成公差为 4 的等差数列，可知 a+c=2b,C=120,，则由余弦
11、定理，c=a+b-2abcosC，,三边长为 6,10,14，,b=a+c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB,cosB=，sinB=可知 S=.考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用。点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解。巧设变量 a-4,a,a+4 会简化运算。16.已知正方形的边长为 1，记以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若，且，则的最小值是_【答案】5【解析】【分析】根据正方形的图形特征，建立如图所示的直角坐标系，表示为，表示为，根据的不同取值，利用向
12、量的坐标运算，计算出的值，最后确定最小值.【详解】建立如下图所示的直角坐标系：表示为，表示为，（1）当时，则；（2）当时，则；（3）当时，则（4）当时，则 同样地，当取其他值时，或，故的最小值是.【点睛】本题考查了平面向量坐标表示，平面向量的数量积运算等基本知识，考查了分类讨论思想、化归思想、数形结合思想.三解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（1）计算：（2）化简【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用诱导公式求出每项的值，再进行加法运算可得出答案；（2）先将切化为弦，即，通分后利用辅助角公式化简，结合诱导公式再化异角为同角，再利用二倍角公
13、式计算化简计算可得出答案。【详解】（1）；（2）【点睛】本题考查利用诱导公式、三角恒等变换公式进行求值，在利用三角恒等变换公式求非特殊角的三角函数值时，需注意以下几个步骤：（1）切遇弦，切化弦，另外在分式运算要通分；（2）遇到利用辅助角公式化简，即，其中 由以及点所处象限决定；（3）遇到弦的二次式，需要利用二倍角降幂公式进行降幂。18.已知向量和，其中，（1）当 为何值时，有；（2）若向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围【答案】（1）（2）且.【解析】试题分析：(1)由向量平行的充要条件得到关于实数 k 的方程，解方程可得 (2)向量的夹角为钝角，则数量积为复数，据此可得实数 的取值范围
14、是且.试题解析：解：（1）由，设，所以，即，又，得 与 不共线，所以，解得.（2）因向量 与 的夹角为钝角，所以，又，得，所以，即，又向量 与 不共线，由（1）知，所以且.19.已知如图：平行四边形中，正方形所在平面与平面垂直，分别是的中点 （1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积【答案】（1）由四边形 EFBC 是平行四边形，H 为 FC 的中点，得，推出 GH平面CDE；（2）。【解析】【详解】试题分析：（1）证明 GH平面 CDE，利用线面平行的判定定理，只需证明 HGCD；（2）证明 FA平面 ABCD，求出 SABCD，即可求得四棱锥 F-ABCD 的体积 考点：本试题主要考查了线
15、面平行，考查四棱锥的体积，属于中档题 点评：解决该试题的关键是正确运用线面平行的判定。解：,且 四边形 EFBC 是平行四边形 H 为 FC 的中点 又G 是 FD 的中点 平面 CDE，平面 CDE GH平面 CDE （2）平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD 且 FAAD，FA平面 ABCD.,又，BDCD 20.已知等差数列的前 项和满足，。（1）求通项公式；（2）求数列的前 项和。【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的前 n 项和公式解方程组即可求an的通项公式；（2）求出求数列的通项公式，利用裂项法即可求前 n 项和 Sn【详解】解：（1）由等差数列的性质
16、可得，即，解得 a11，d1，则an的通项公式 an1（n1）2n；（2）（）（），则数列的前 n 项和 Sn（）（1）【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力 21.已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）若锐角的三个角满足，求的取值范围【答案】（1），；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）化简函数得，令，即可得单调增区间；（2）由（1）可知，锐角中：，得，由锐角三角形得，进而可得的取值范围.试题解析：（1）.令 所以函数的单调增区间，（2）由（1）可知，锐角中：.于：由锐角三角形知，故 所以的取值范围是.22.已知，函数（1）当时，求函数
17、的单调递增区间；（2）求函数的零点个数【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先根据绝对值定义化为分段函数形式，再分别根据二次函数性质确定单调递增区间，(2)作函数图象，根据图象分类讨论零点个数.详解】（1）当时，当时，的对称轴为 所以，的单调递增区间为 当时，的对称轴为 所以，的单调递增区间为（2）令，即，,求函数的零点个数，即求与的交点个数；当时，的对称轴为 当时，的对称轴为 当时，故由图像可得，与只存在一个交点.当时，且，故由图像可得，当时，与只存在两个交点；当时，与只存在一个交点；当时，与只存在三个交点.当时，故由图像可得，与只存在一个交点.综上所述：当时，存在三个零点；当时，存在两个零点；当时，存在一个零点.【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.
