1、开卷速查(三十二)数列的综合问题A级基础巩固练1公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a11，则S4()A20B0C7D.40解析：记等比数列an的公比为q(q1)，依题意有2a23a1a3，2a1q3a1a1q2，即q22q30，(q3)(q1)0，又q1，因此有q3，则S420.答案：A2数列an满足a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn1 025的最小n值是()A9B.10C11D.12解析：因为a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，则满足Sn1 025的最小
2、n值是11.答案：C3设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3)B.n(n4)C2n(2n3)D.2n(n4)解析：由题意可设f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)2n23n.答案：A4若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是()A130B.325C676D.1 300解析：设两个连续偶数为2k2和2k(kN*)，则(2k2)2(2k)24(2
3、k1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1100之间，能称为和平数的有41,43,45,47，425，共计13个，其和为413676.答案：C5在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是()A1B.2C3D.4解析：根据等差、等比数列的性质，可知x12，x23，y12，y24.P1(2,2)，P2(3,4)SOP1P21.答案：A6已知函数yloga(x1)3(a0，a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若bn，数列bn的前n
4、项和为Tn，则T10等于()A. B.C. D.解析：由yloga(x1)3恒过定点(2,3)，即a22，a33，又an为等差数列，ann，nN*.bn，T101.答案：B7等差数列an的前n项和记为Sn，若S44，S728，则a10的最大值为_解析：方法一：等差数列an的前n项和为Sn，S44，S728，即a1046d.46d，解得d2.a1046216.方法二：同方法一，得a10a19d，由线性规划得a10的最大值为16.答案：168已知数列an的通项公式为an25n，数列bn的通项公式为bnnk，设cn若在数列cn中，c5cn对任意nN*恒成立，则实数k的取值范围是_解析：数列cn是取a
5、n和bn中的最大值，据题意c5是数列cn的最小项，由于函数y25n是减函数，函数ynk是增函数，所以b5a5b6或a5b5a4，即5k2556k或2555k254，解得5k4或4k3，所以5k3.答案：5，39定义函数f(x)xx，其中x表示不小于x的最小整数，如1.42，2.32.当x(0，n(nN*)时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则_.解析：由题意，a11，当x(n，n1时，xn1，xx(n2n，n22n1，xx的取值依次为n2n1，n2n2，n22n1共n1个，即an1ann1，由此可得an123n，2，所以2.答案：2102014四川设等差数列an的公差为
6、d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解析：(1)由已知，b12a1，b82a84b7，有2a842a72a72，解得da8a72.所以，Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，a22，解得a22.所以，da2a11.从而ann，bn2n，所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.
7、所以，Tn.B级能力提升练112014湖北已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解析：(1)设数列an的公差为d，依题意，2,2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800，此时不存在正整数n，使得Sn60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n
8、260n800，即n230n4000，解得n40或n10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.122014课标全国已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解析：(1)由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列
