1、第14讲 端点恒成立与端点不成立问题 一解答题（共30小题）1（2021天津二模）已知函数（）当时，求在点，处的切线方程；（）若，求函数的单调区间；（）若对任意的，在，上恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（）当时，（1分），函数在点，处的切线方程为（2分）（）由题意，（3分）（）当时，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减；（4分）（）当时，令，得；，得或，（5分）所以在单调递增，在，单调递减，（6分）（）令（a），当，时，（a）单调递增，则，（7分）则（a）对，恒成立等价于（a），即，对，恒成立（8分）（）当时，此时，不合题意，舍去（9分）（）当时，令，则，（10分）其中，令，则在区间，上
2、单调递增，（11分）当时，所以对，则在，上单调递增，故对任意，即不等式在，上恒成立，满足题意（12分）当时，由，（1）及在区间，上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，即，所以在区间上单调递减，则时，即，不符合题意（13分）综上所述，（14分）2（2021春沈阳期末）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若当时，有恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）函数，则，当时，则在上单调递增；当时，令，解得，当时，则单调递减，当时，则单调递增综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，则在，单调递增，所以，因为，则在，上恒成立，所以当时，在，上恒成立，令，则，故
3、，所以在，上单调递增，又，当时，则在，上单调递增，故，所以；当时，因为在，上单调递增，且，故存在，使得，且，即，所以，不符合题意综上所述，实数的取值范围为，3（2021怀化一模）已知函数（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的，在，上恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）的导数为当时，令，得；，得，所以在单调递增单调递减所以的极大值为，不合题意当时，令，得；令，得或；所以在单调递增，单调递减所以的极大值为，得综上所述（2）令（a），当时，故（a）于，上递增，（a），原问题于，上恒成立当时，此时，不合题意当时，令，则，其中，令，则在区间，上单调递增，（）时，所以对，从而在，上单
4、调递增，所以对任意，即不等式，于，上恒成立（）时，由，（1）及在区间，上单调递增，所以存在唯一的，使得，且时，从而时，所以在区间上单调递减，则时，即，不符合题意综上所述，4（2021秋河南月考）已知函数（）讨论的单调性；（）若，且当时恒成立，求的最大值【解答】解：（）由题意可知，当时，在上单调递增，当时，令，得，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减（）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，所以当时，恒成立，令，令，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，因为，当时，当，所以在上，单调递减，在时，单调递增，所以，在上，（1），所以，所
5、以的最大值为5（2021秋许昌月考）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）因为，令，当，由，解得，由，解得，当，令，得，当时，解得；，解得，当，即时，由，解得，由，由时，即时，恒成立；当时，即时，由，解得；由，解得综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；（2）因为，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，令，因为，所以，所以在上单调递减，所以（1），所以，所以在上单调递减，所以（1），所以，所以的取值范围为，6（2021
6、秋玉溪月考）已知函数f（x）x2a（x1）lnx1（1）若a1，求函数f（x）的最小值；（2）若x0时，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2xlnx，f（x）2x1，令f（x）0x1，当0x1时，f（x）0，则f（x）在（0，1）单调递减当x1时，f（x）0，则f（x）在（1，+）单调递增，所以f（x）minf（1）0.（4分）（2）f（x）x2a（x1）lnx1（x0），f（x）2xa，设r（x）2x2ax1，因为a2+80，故存在x00，有r（x0）2ax010.（8分）且f（x）在（0，x0）时f（x）0，在（x0，+）时f（x）0，则f（x）在（
7、0，x0）单调递减，在（x0，+）单调递增，所以函数f（x）在xx0处取到最小值，.（10分）又因为f（1）0，要使得f（x）0恒成立，只有x01才能满足故代入2ax010得a1，故所求a1.（12分）7（2021秋巴中月考）已知，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）因为，则，当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当且时，恒成立，即对于恒成立，等价于对于恒成立，令，则问题转化为对于恒成立，因为对于恒成立，所以在上单调递增
8、，则对于恒成立，等价于对于恒成立，故对于恒成立，令，则，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），则，所以的取值范围为8（2021秋河南月考）已知函数（1）设是的导函数，求在，上的最小值；（2）今，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由，得，令，所以对，恒成立，所以在，上为增函数，所以，所以在，上的最小值为1，（2）当，时，由得，取对，恒成立，所以对，恒成立，即函数的图象在的上方，当，时，由得，取对，恒成立，所以对，恒成立，即函数的图象在的下方，在的切线斜率为，当时，对，恒成立，令，由（1）知的最小值是1，所以的最小值是0，所以是增函数，最小值在时取得，
9、且，所以时对，恒成立，同理可证时，对，恒成立，根据函数图象知故实数的取值范围为，9（2021秋南宁月考）已知函数（1）讨论的单调性（2）设，若恒成立，求的取值范围【解答】解：（1），当时，单调递增，当时，在上，单调递增，在，上，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减，（2），若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，令，令，所以在上单调递增，又（1），且时，所以在上，单调递减，在，单调递增，所以（1），所以在上单调递增，又（1），所以在上，单调递减，在，单调递增，所以（1），所以，所以的取值范围为，10（2021秋广东月考）已知函数且（1）若函数在区间上单调递增，
10、求的取值范围；（2）若恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）由于二次函数的开口向上，且在单调递减，的定义域为，且在定义域上单调递增，于是由复合函数的单调性可知，实数应满足，解得，实数的取值范围为；（2），当且仅当时等号成立，解得，实数的取值范围为，11（2021秋吴中区校级月考）设函数（1）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围；（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）当时，恒成立；当时，为开口向上的抛物线，原不等式不恒成立；当时，只需，即，解得综上可得，的取值范围是，；（2）对于，即为即，令，即有，因为，当且仅当时取得等号，所以，即，所以的取值范围是，12（2021秋重庆月考
11、）已知函数，为函数的导函数（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）的定义域是，当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，的单调递减区间为，递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为当时，的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为（2）令，恒成立，恒成立，即，恒成立，当时，有，令，在单调递减，当时，；当时，恒成立，；当时，有，由得，时，单调递减，时，单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，；综上所述，即的取值范围为，13（2021秋江西月考）已知函数，（1）若，讨论函数
12、在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值【解答】解：（1）的定义域为，且，方程，当，即时，在上单调递增，故极值点个数为0；当，即时，当时，在，上单调递增，在上单调递减，故极值点个数为2，综上可知，当时，极值点个数为0，当时，极值点个数为2；（2）当，令，则，所以在上单调递增，而（3），（4），所以存在，使得，即，故，且时，即在上单调递减，在，上单调递增，所以的最小值为，所以，因为，即的最大值为3所以，的最大值为314（2021秋浙江月考）已知函数（）若的图象在处的切线的斜率为，求直线的方程；（）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（），（1），解得，（1）
13、，切点为，斜率为，切线的方程为；（）法对于任意的，恒成立，解得又当时，对于任意的，恒成立，等价于在，上恒成立，令，则只需即可，且，在上单调递减，在上单调递增，（2），由，（2），解得，法对于任意的，恒成立，解得由，在上单调递减，在，上单调递增，（2），要使恒成立，只需即可，即，即，法，恒成立，且（2），解得恒成立，由，知，所以两边平方得：，即对任意的，恒成立，当时，则，即，15（2021秋龙岩月考）已知函数且为常数）（）讨论函数的极值点个数；（）若对任意的恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（）由题设知：的定义域为，令，在上恒成立，函数在上单调递增，且值域为，当时，在上恒成立，即，故在上单调递
14、增，无极值点；当时，方程有唯一解为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，是函数的极小值点，没有极大值点综上，当时，无极值点，当时，函数只有1个极值点；（）不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，对任意的恒成立记，则，记，则，易知在上恒成立，在上单调递增，且，（1），存在，使得，且当时，即，函数在上单调递减；当，时，即，故在，上单调递增，即，又，故，即，即，由（）知函数在上单调递增，综上，实数的取值范围是，16（2021秋湘潭月考）已知为自然对数的底数，函数，（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；（2）若对任意的恒成立，求的最大值【解答】（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，又，所以，解
15、得，所以；（2）因为等价于，令，当时，在上为增函数，且当时，所以不满足题意；当时，对任意的恒成立，所以，故，此时的最大值为0；当时，因为，由，得，又当时，当时，所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，有最小值，所以，即，所以，令，则，所以当时，为增函数，当时，为减函数，所以（e），故，所以的最大值为；综上所述，的最大值为17（2021秋丹徒区校级月考）已知（1）不等式恒成立，求实数的取值范围（2）当，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）依题意，对任意，恒成立，则，解得，实数的取值范围为；（2）当时，即为，由于为开口向上，对称轴为的二次函数，而对任意，都有恒成立，于是只需即可
16、，即，令，则，令，则，由双勾函数的性质可知，在，上单调递增，故（2），即实数的取值范围为，18（2021秋湖北月考）已知函数，函数（1）求函数的单调区间；（2）记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）且，令，则，所以，所以，所以的单调递增区间为，当，所以的单调递减区间为（2），且，令，令，所以在上单调递增，若，所以在，上单调递增，所以，所以恒成立若，所以存在，使，且，所以，不合题意综上，的取值范围为，19（2021秋河北月考）已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值【解答】解：（1）当时，导数为，所以切线的斜率为（1），
17、又（1），所以切线的方程为，即为；（2）当时，整理可得，令，则，令，则，由，可得，当时，递减，因为（1），所以在存在一个零点，此时，即，所以当时，即，递增；当时，即，递减，所以有最大值，所以，因为，所以正整数的最小值为120（2021秋资中县校级月考）已知函数，（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由函数在上单调递减，所以在上恒成立；等价于在上恒成立，设，即在的最小值，则，得，单调递减；，得，单调递增；的最小值为（1），所以，所以的取值范围，；（2）令，由，得，当时，令，则，令，所以在上单调递增，因为（1），所以时，单调递减；时，单调递增，故
18、（1），满足条件；综上可知，的取值范围，21（2021上城区校级开学）已知，（）求的最小值（）设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值（）当时，恒成立，求的取值范围【解答】解：（）令得，易知，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为；（）依题意，令，则，令，则，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，从而作出函数的草图如下，由图象可知，要使有三个不同的实数根，则，的最小值为；（）等价于，即，构造函数，则，在上单调递增，又考虑到，则，从而，实数的取值范围为，22（2021秋渝中区校级月考）已知函数（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）当时，不等式对于恒成立，求实数的值【解
19、答】解：（1）因为，所以，函数在处取得极值，检验：当时，100单调递减极小值单调递增极大值单调递减在处取极值，符合题意（2）当时，由题意知时，当时，令，因为为上的增函数，且的值域为，故问题转化为“，恒成立”，不妨设，所以，当时，所以在上单调递增，且，所以当时，这与题意不符，当时，令，解得，当时，单调递减，所以，所以，所以，记，当时，单调递减；当时，单调递增，所以（1），又因为，即，所以23（2021秋青铜峡市校级月考）已知函数为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）不等式在，上恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）函数定义域是，时，恒成立，在上是增函数；时，时，递减，时，递增综上，时，在上是
20、增函数；时，在上是减函数，在上是增函数；（2）即在，上恒成立，则，设，则，时，递增，时，递减，（1），所以，即实数的取值范围为，24（2021秋沙坪坝区校级月考）已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）函数，则，当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，解得，当时，则单调递增，当时，则单调递减综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）对任意都有恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，当时，在上恒成立，则单调递减，则只要即可，解得，又，故无解；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以只要即可，解得，
21、又，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则，解得，又，所以综上所述，实数的取值范围为25（2021春玉林期中）已知函数（1）讨论在定义域内的极值点的个数；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由已知得，设，令，即方程，当时，则，此时没有极值点；当时，设方程两根为，不妨设，则，则，当或时，；当时，此时，是函数的两个极值点，当时，设方程两根为，则，所以，所以当时，故没有极值点，综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点（2）解：由题，在上恒成立，则在上恒成立，在上恒成立，设，则，因为，当时，则单调递减；当，则单调递增；所以（1），所以26（2021春湖南期
22、中）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）函数，证明：当时，恒成立【解答】解：（1），（1分）当时，的单调递增区间为，（2分）当时，令，令，（3分）的单调递增区间为，单调递减区间为（4分）（2）方法一：直接求导，令，（5分），令，令，（6分），（7分）令，（8分）下面证明，即证，令，（9分）则，在递减，（11分）当时，恒成立（12分）方法二：，要证，只需证，（5分）令，（6分）令，（7分），（8分）证明方式，（9分），（10分），（11分）当时，恒成立（12分）证明方式下面只需证明，令，（a）在递减，（10分）（a）（1），（11分）当时，恒成立（12分）27（2021春蕲春县期中）已知函数
23、的图象在点，（1）处的切线方程为（1）求，的值（2）当时，证明：对恒成立【解答】（1）解：因为，所以，解得，则（1），解得，；（2）证明：因为，所以要证对恒成立，只需证对恒成立设函数，则因为，所以，所以在上单调递减，从而（1），则对恒成立，故当时，对恒成立28（2021春宁德期中）已知函数，其中，为的导数（1）若为定义域内的单调递减函数，求的取值范围；（2）当时，记，求证：当时，恒成立【解答】解：（1）因为，所以，要使为定义域内的单调减函数，需满足在上恒成立，即在上恒成立，令，由（1）且函数在上单调递减，又，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以，即当时，在定义域内单调减函数，综
24、上，的取值范围是（2）证明：当时，要证恒成立，即证恒成立，当时，而，所以成立，当时，令，则，记，则，所以当时，单调递增，即，所以在上单调递增，所以，即有成立，综上，对任意，恒有成立29（2021金华模拟）已知函数其中（）若，证明：；（）若在上恒成立，求的取值范围【解答】证：函数的定义域，令，则，当时，函数单调递减，时，函数单调递增，故（1），又，所以；解：若在上恒成立，则在上恒成立，即，令，由可得，当时，在上单调递减，故（1），此时不成立，当时，由可得，（舍，当即时，在上单调递减，在，上单调递增，（1），则在，不成立，当即时，在上单调递减，在，上单调递增，令，则，令，即，故在上单调递增，（1）
25、，则，综上，的范围30（2021春淮安期中）已知函数，为常数）（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；（2）若，且，证明：；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1），则（1）且（1）所以函数在处的切线方程为：，从而（1），即（2）证明：由题意知：设函数，则设，从而对任意，恒成立，所以（1），即，因此函数在，上单调递减，即（1），所以当时，成立（3）设函数，从而对任意，不等式（1）恒成立又，当，即恒成立时，函数单调递减设，则，所以（1），即，符合题意；当时，恒成立，此时函数单调递增于是，不等式（1）对任意，恒成立，不符合题意；当时，设，则当时，此时单调递增，所以（1），故当时，函数单调递增于是当时，成立，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为：
