1、解答题：函数与导数1.已知函数.(1)当时，求函数的单调区间.(2)是否存在实数，使得函数在上单调递增?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.2.函数.(1)当时，求的图象在处的切线方程(为自然对数的底数)；(2)当时，直线是图象的一条切线，求的值.3.已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有唯一零点，求的值.4.已知函数.(1)求函数的极值点；(2)当时，函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.5.设函数.(1)求的单调区间；(2)当时，不等式恒成立(其中为的导函数)，求整数的最大值.6.已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)证明函数存在唯
2、一的极大值点，且.7.已知函数.(1)若，求函数的最大值；(2)设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.8.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.答案以及解析1.答案：(1)当时，所以.令，得或，令，得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)因为函数，所以.要使函数在上单调递增，则时，即，即.令，则，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点.又，所以在上的最大值为.所以的取值范围为.2.答案：(1)当时，所以，且，则.所以的图象在处的切线方程为，即.(2)设切点为
3、，则，因为，所以，令，则或，解得或.若，则，解得，满足.若，由可得，令，则，所以函数在上单调递增.又，所以为方程在上的唯一解，故，解得.综上可知，.3.答案：(1)当时，.又，曲线在点处的切线方程为，即.(2)原问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值.令，则.令，则在上单调递减.又当时，即在上单调递增；当时， 即在上单调递减.的极大值为.当时，；当时，.又当关于的方程有唯一的解时，即当函数有唯一零点时，的值为1.4.答案：(1)因为，所以，所以，当时，所以函数无极值点.当时，令，解得.由解得；由解得.故函数有极大值点，无极小值点.综上，当时，函数无极值点；当时，函数有极大值点，无极小值点.(
4、2)当时，所以.设，则，当即时，所以在上单调递减，所以不可能有三个不同的零点.当即时，有两个零点，为，所以.又的图象开口向下，所以当时，所以，所以在上单调递减；当时，所以，所以在上单调递增；当时，所以，所以在上单调递减.因为，所以，所以.，令，则当时，.所以在上单调递增，所以当时，即.由零点存在性定理知，在区间上有唯一的零点.因为，所以，所以，所以在区间上有唯一的零点.故当时，存在三个不同的零点.故实数的取值范围是.5.答案：(1)函数的定义域是，当时，；当时，.函数的单调递减区间为，无单调递增区间.(2).令，则，所以.令，则当时，在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设此零点为，则，即.当
5、时，当时，于是，又为整数，的最大值为2.6.答案：(1)函数的定义域为，.故曲线在点处的切线方程为，即.因为曲线在点处的切线方程为，所以.(2)解法一 由(1)知，.令，则，易知在上单调递减.由于，则存在，使得.当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减.由于，故存在，使得，当时，则；当时，则.故函数在上单调递增，在上单调递减.故函数存在唯一的极大值点.由于，即，所以，则.令，则.故函数在上单调递增.由于，则.即.解法二 由(1)知，.当时，.当时，令，则，则在上单调递减.又.故存在，使得，当时，则；当时，则.故函数在上单调递增，在上单调递减.故函数存在唯一的极大值点.由于，即，所以，则.令
6、，则.故函数在上单调递增.由于，则.即.7.答案：(1)由题意得，令，得.因为，所以在上，单调递增；在上，单调递减.所以函数有最大值，最大值为.(2)因为，所以，即.由于时，函数为减函数，所以对任意，不等式恒成立，即，即对任意恒成立.解法一 令，则.因为，所以，且.当时，所以，即时，单调递减.所以要使，只需，解得，所以.当时，令，得或(舍去).当时，当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，解得，所以.当时，所以在上，则在上单调递增，所以在上，.综上，的取值范围是.解法二 当时，显然.当时，等价于，令，则.当时，所以在上单调递增，所以，所以.综上，的取值范围是.8.答案：(1).令，得或.若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；若在单调递增；若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.(2)满足题设条件的存在.当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时满足题设条件当且仅当，即.当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时满足题设条件当且仅当，即.当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或.若，则，与矛盾.若，则或或，与矛盾.综上，当且仅当或时，在的最小值为，最大值为1.