1、江苏省镇江市20182019学年下学期期末测试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.已知点，则直线的倾斜角是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 120【答案】B【解析】【分析】利用斜率公式计算斜率，再计算倾斜角得到答案.【详解】点 ，答案为B【点睛】本题考查了倾斜角计算，属于简单题.2.在边长为1的正方形中，等于（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用向量內积的计算公式得到答案.【详解】答案为A【点睛】本题考查了向量乘积公式，属于简单题.3.“
2、”是“直线和直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】计算直线和直线平行的等价条件，再与比较范围大小得到答案.【详解】直线和直线平行，则 是的充分不必要条件，答案选A【点睛】本题考查了直线平行，充要条件的知识点，关键是把直线平行的等价条件计算出来.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据侧面展开图弧长等于底面周长，求得底面积.再利用勾股定理算得圆锥高，求得体积.【详解】底面周长 ，底面半径 圆锥高为 ， 即 答案为C【点睛】本题
3、考查了圆锥的侧面展开图，抓住展开图和圆锥的线段长度关系是解题的关键.5.圆与圆公切线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】计算圆心距 ，根据圆心距与 关系判断圆与圆的位置关系，得到公切线条数.【详解】圆心距 ， 两圆外离，公切线有4条.答案为D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，公切线的条数这个知识点：外离时公切线4条；外切时公切线3条；相交时公切线2条；内切时公切线1条；内含时公切线0条.6.教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是（ ）教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；教室地面上有无数条直线
4、与直尺所在直线平行；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】每个选项逐一进行判断得到答案.【详解】当直尺与地面平行时，有无数条直线与直尺平行，错误当直线与地面垂直时，有无数条直线与直尺垂直，错误当直线与地面相交时，没有直线与直尺平行，错误不管直尺与地面是什么关系，有无数条直线与直尺所在直线垂直，正确答案选A【点睛】本题考查了直线与平面的关系，属于简单题目.7.点到直线的距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】 ，答案B【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单
5、题.8.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】B【解析】【分析】正四棱锥 ，连接底面对角线 ，在中，为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.【详解】正四棱锥 ，连接底面对角线， ，易知为等腰直角三角形.中点为 ，又正四棱锥知：底面 即 为所求角为 ，答案为B【点睛】本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.9.在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且，则（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据，计算出圆心到直线距离为，在利用点到直线的距离公式得到.【详解】，在
6、中，到的距离为 ，答案为D【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，本题的关键是将直角三角形的边关系转换为点到直线的关系.10.在直角梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为( )A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，分别计算各个点坐标，再通过向量的数量积得到答案.【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系则 ， ， ， ，则 ， 答案为C【点睛】本题考察了坐标系的建立，意在考查学生的计算能力.11.在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于两点，则面积最小值为( )A. 4B. 8C. 12D.
7、16【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，代入定点得到,再利用均值不等式得到三角形面积的最小值.【详解】解:由题意设直线方程为 , .由基本不等式知 ,即 (当且仅当 ,即 时等号成立).又 答案为C【点睛】本题考查了直线截距式方程，利用均值不等式求最大最小值是常考题型.12.已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案.【详解】三棱锥中，两两垂直，则 答案为D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分
8、，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.已知为虚数单位，复数，则_【答案】1【解析】分析】首先化简 ，在根据复数模的公式得到答案.【详解】【点睛】本题考查了复数的化简和模，属于简单题.14.若方程表示圆，则实数的取值范围为_【答案】【解析】分析】方程表示圆，需要 计算得到答案.【详解】方程表示圆则【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题.15.当时，函数的最小值为_【答案】5【解析】【分析】利用基本不等式即可求得答案【详解】y=x+=x+-1+12+1=5，当且仅当x=3时取等号，故函数y=x+的最小值为5故答案为：5.【点睛】在利用基本不等式求最
9、值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.如图，有三座城市其中在的正东方向，且与相距120；在的北偏东30方向，且与相距60一架飞机从城市出发，沿北偏东75航向飞行当飞机飞行到城市的北偏东45的D点处时，飞机出现故障，必须在城市，中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行_ ，才能降落【答案】【解析】【分析】连接BC，在中，利用正余弦定理得到DB和DC，比较两个大小得到答案.【详解】连接BC，在中： 余弦定理知： 在中， 故答案为【点睛】本题考查了
10、正余弦定理的实际应用，考察了学生的计算能力，数学建模的能力.三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点（1）求证：平面；（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)连接与与交于点，在 利用中位线证明平行.(2) 首先证明平面，由于平面，证明得到结论.【详解】证明：（1）连接与交于点，连接因为底面为菱形，所以为中点因为为中点，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因为底面为菱形，所以所以，平面，平面所以平面因为平面，所以【点睛】本题考查直棱柱得概念
11、和性质，考查线面平行的判定定理，考查线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑能力和书写能力，属于简单题18.在锐角中，角的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)有向量平行得到边长与角度关系式，再利用正弦定理得到角A.(2) 的面积为，计算得到，在中利用余弦定理得到BM长度.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得：因为，所以，所以因为，所以（2）因为面积为，所以因为，所以在中，由余弦定理得：所以【点睛】本题考查了向量平行的内容,考查了正余弦定理和三角形面积公式.考查学生的运算能力19.如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方
12、程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为（1）求边上的高线所在直线的方程；（2）求等腰直角三角形的外接圆的标准方程；（3）分别求两直角边，所在直线的方程【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用垂直斜率相乘为-1得到CH斜率，点斜式得到CH方程.(2)首先计算圆心，再计算半径，得到圆的标准方程.(3)设直线AC方程，通过H到直线的距离计算得到AC，BC直线.【详解】（1）因为等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，设的斜率为则经过点，所以（2）解得：，所以圆心所以等腰直角三角形的外接圆的标准方程为（3）经判断，斜率均存在设，即，因为到直线的距离为所以解得：或因为点在点上方，所以【点
13、睛】考查了求直线方程,考查了两直线的位置关系,考查了圆的标准方程,考查了点到直线的位置关系.考查学生的分析能力、直观想象能力,运算能力.20.如图，在四面体中，平面平面，分别为的中点（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的大小【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)分别证明平面，平面得到两平面平行.(2)将转化为，通过体积公式得到答案.(3)首先判断是二面角的平面角，在中，利用边角关系得到答案.【详解】（1）证明：因为分别为的中点，又有平面，平面，所以平面同理：平面平面，平面，所以平面平面（2）解：因为，所以因为平面平面，平面平面，平面所以平面，为中
14、点，所以所以三棱锥的体积为（3）因为，为中点，所以，同理，平面，平面所以是二面角的平面角平面平面，平面平面，平面，则平面平面，所以在直角三角形中，则，所以二面角的大小为【点睛】本题考查了面面平行的判定定理,考查了三棱锥体积的求法,考查了二面角平面角的求法.考查了学生数学抽象、数逻辑推理的能力21.如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高14，灯杆与地面所成角为30路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定的平面内（1）当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线?（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面的中线，此时有一高2.5 的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影
15、子长度【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)分别以图中所在直线为轴，建立平面直角坐标系，分别计算AB，AC的直线方程，解得A坐标，求得AB长度.(2) 设警示牌为，计算M，A的坐标，得到AM直线方程，得到答案.【详解】解：分别以图中所在直线为轴，建立平面直角坐标系，（1）【解法1】作垂足为，作垂足为因为灯杆与地面所成角为，即在中，所以在中，解得：【解法2】灯杆与地面所成角为，方程为因为灯罩轴线与灯杆垂直，设的斜率为，所以，又因为的方程为：联立：，解得：所以（2）设警示牌为，则令，所以，所以答：（1）当灯杆长度为时，灯罩轴线正好通过路面的中线（2）求警示牌在该路灯灯光下的影子长
16、度【点睛】本题考查阅读理解能力、数学建模能力、运算能力、抽象能力.考查了直线方程，直线的位置关系.22.已知圆经过两点，且圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；（3）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值?若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由【答案】（1）；（2）或；（3）见解析【解析】【分析】(1)设出圆的一般方程，代入三个条件解得答案.(2)将弦长转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到答案.(3)设出点 利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.【详解】（1）因为圆经过两点，且圆心在直线上设圆：所以，所以，所以圆（2）当斜率不存在的时候，弦长为，满足题意当斜率存在的时候，设，即所以直线的方程为：或（3）设，且因为为定值，设化简得：，与点位置无关，所以解得：或所以定点为【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查阿斯圆内容.考查了多项式恒成立问题.考查学生的分析能力、数据分析能力.