1、第2课时数列的通项公式与递推公式内容标准学科素养1.了解递推公式是给出数列的一种方法2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项3.掌握由一些简单的递推公式求数列通项公式的方法.发展逻辑推理提升数学运算运用数学抽象授课提示：对应学生用书第20页基础认识知识点数列递推公式数列除用通项表示外，还可以通过数列的前后两项或三项间的关系(递推关系)结合首项或前n项给出(1)如图(教材P30例2)谢宾斯基三角形中， 着色的小三角形的个数依次构成一个数列1,3,9，_，_，猜想递推关系_(n2，nN*)提示：333(2)三角形数构成的数列1,3,6,10，.a2与a1的关系为_，a3与a2的关系
2、为_，a4与a3的关系为_猜想：an与an1的关系为_(n2，nN*)提示：a2a12a3a23a4a34anan1n知识梳理递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式思考由数列的递推公式确定数列的各项，递推的基础是什么？递推的依据是什么？提示：(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础；(2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式，这是递推的依据自我检测1数列0,2,4,6，的递推公式可以是()Aan1an2Ban12anCan1an，a10Dan1an2，a10答案：D2
3、已知数列an的首项a11，an11，则这个数列的第4项是()A.B.C. D6答案：B授课提示：对应学生用书第21页探究一由递推公式写数列的前几项阅读教材P31例3方法步骤：当n1时，a11，当n2时，由a1a2，当n3时，由a2a3，当n4时，由a3a4，当n5时，由a4a5.例1(1)在数列an中，a1，an11，则a5()A2B3C1 D.(2)数列an满足an1若a1，则a2 019的值是()A. BC. D.解析(1)a1，an11，则a2121，a3112，a411，a51121.(2)由于a1，1，a22a111，1，a32a2110，)，a42a3，可归纳为a4a1，a5a2，
4、a6a3，an3an，故a2 019a2 016a67233a3.答案(1)C(2)C方法技巧由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式跟踪探究1.已知数列an中，an1man1(n1)，且a23，a35，则实数m_.答案：探究二用累加法、累乘法求通项公式教材P33第5题第二个图求数列的通项公式方法步骤：a2a13，a3a23，a4a33，anan13，将上述(n1)个式子两边分别相加得
5、ana13(n1)，a11，an3n2.例2已知数列an满足a11，anan1(n2)，求an.解析因为anan1(n2)，所以anan1，所以a11，a2a1，a3a2，a4a3，anan1.所以ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)1()()()()1.当n1时，a11也符合上式，所以an1.延伸探究1.本例中的条件“anan1”改为“”，其他条件不变，求an.解析：因为a11，且(n2)，所以，即an，经检验，n1时，a11也满足上式，所以an.2本例中的条件“anan1”改为“ln anln an11(n2)”，其他条件不变，求an.解析：因为a11，且ln anl
6、n an11(n2)，所以ln a2ln a11，ln a3ln a21，ln anln an11，以上各式相加可得ln anln a1n1，又ln a1ln 10，所以ln ann1，anen1.当n1时，a1e01符合题意，所以anen1.方法技巧1由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式(3)写出一个通项公式并证明2递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如an1anf(n)的通项公式将原来的递推公式转化为an1anf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即ana1(a2a1)(a3a
7、2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n1)(2)求形如an1f(n)an的通项公式将原递推公式转化为f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由f(1)，f(2)，f(n1)，累乘可得f(1)f(2)f(n1)跟踪探究2.若数列an中各项均不为零，则有a1an(n2，nN*)成立试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，(n2，nN*)，求通项an.解析：当n2时，ana11.a11也符合上式，所以数列an的通项公式是an.探究三数列的函数特性例3已知数列an的通项公式是an(n1)()n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解析
8、法一：an1an(n2)()n1(n1)()n，当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a9a10a11a12，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a1010()9.法二：根据题意，令，即，解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a1010()9.方法技巧1数列单调性的判断方法(1)根据定义判断：若an1an，则an是单调递增数列；若an1an，则an是单调递减数列；若an1an，则an是常数列(2)作差法：若an1an0，则数列an是单调递增数列；若
9、an1an0，则数列an是单调递减数列；若an1an0，则数列an是常数列(3)作商法：若1(an0，nN*)或1(an0，nN*)，则数列an是单调递增数列；若1(an0，nN*)或1(an0，nN*)，则数列an是单调递减数列；若1(an0，nN*)，则数列an是常数列2数列单调性的应用(1)求数列的最大项，首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项(2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧跟踪探究3.已知an(nN*)，则在数列an的前100项中最小项和最大项分别是()Aa1，a100
10、 Ba100，a44Ca45，a44 Da44，a45解析：因为an1，图象如图当n45时，n，a45最小当n44时，n，a44最大故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第22页课后小结(1)an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系(2)数列的表示方法图象法；列表法；通项公式法；递推公式法(3)通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之
11、间的推导关系，不能由n直接得出an.素养培优利用函数、不等式思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，当(nN*)变化时，an有大小不等关系的变化，可利用函数、不等式思想解决1已知数列an满足a1，an1aan.(1)求证：an1an；(2)求证：12，其中n2，nN*.证明：(1)因为an1aan，所以an1ana0.又因为a10，所以ana10，即an1an0，所以an1an.(2)因为an1aan，所以，即，累差叠加得2.因为an1a3()2，所以01，所以122，即可证结论成立2已知数列an中，a11，且点P(an，an1)(nN*)在直线xy10上(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(n)(nN*，n2)，求函数f(n)的最小值解析：(1)anan110，a1a210，a2a310，an1an10，以上各式相加，得a1ann10，ana1n1n.(2)f(n)，f(n1)，f(n1)f(n)0.f(n)是单调递增的故f(n)的最小值是f(2).