1、2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程1掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程(重点)2抛物线标准方程与定义的应用(难点)3抛物线标准方程、准线、焦点的应用(易错点)基础初探教材整理抛物线的标准方程阅读教材P51例1以上的部分，完成下列问题.图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()(3)抛物线的方程都是二次函数()(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数
2、的正负决定()【答案】(1)(2)(3)(4)2若抛物线的方程为x2ay2(a0)，则焦点到准线的距离p_. 【导学号：09390039】【解析】把抛物线方程化为标准形式：y2x，故p.【答案】3已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是_【解析】3，p6，x212y.【答案】x212y质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求抛物线的焦点及准线(1)抛物线2y23x0的焦点坐标是_，准线方程是_(2)若抛物线的方程为yax2(a0)，则抛物线的焦点坐标为_，准线方程为_【自主解答】(1)抛物线2y23x0
3、的标准方程是y2x，2p，p，焦点坐标是，准线方程是x.(2)抛物线方程yax2(a0)化为标准形式：x2y，当a0时，则2p，解得p，焦点坐标是，准线方程是y.当a0)的焦点坐标和准线方程【解】抛物线ymx2(m0)的标准方程是x2y.m0，2p，焦点坐标是，准线方程是y.求抛物线的标准方程根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；(3)焦点在x2y40上【精彩点拨】(1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x2y40与坐标轴的交点，应先求交点再写方程【自主解答】(1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p
4、0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点，所以1m(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一：设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8) 的坐标代入y22px，得p8；将点(4，8)的坐标代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x
5、2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再
6、根据题中条件，确定参数值对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y22px(p0)，或y22px(p0)，或x22py(p0)，或x22py(p0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2ax(a0)；当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2ay(a0)，再根据条件求a.再练一题2以双曲线16x29y2144的左顶点为焦点的抛物线方程是_. 【导学号：09390040】【解析】双曲线16x29y2144的标准方程是1，左
7、顶点是(3,0)，由题意设抛物线的方程为y22px(p0)，3，p6，抛物线的标准方程是y212x.【答案】y212x抛物线的标准方程及定义的应用(1)设P是曲线y24x上的一个动点，求点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值(2)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标【精彩点拨】(1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PBPFBF求解(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解【自主解答】(1)抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐
8、标为(1,0)，点P到点B(1,1)的距离与点P到准线x1的距离之和等于PBPF.如图，PBPFBF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd.由图可知，当APl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)抛物线定义在求最值中的应用1解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等2数形结
9、合思想是求解几何最值的常用方法之一再练一题3已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值【解】如图，设点F是抛物线y2x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN(ACBD)由抛物线的定义，知ACAF，BDBF，MN(AFBF)AB.设点M的横坐标为x，MNx，则x.当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.探究共研型抛物线的标准方程探究1四种形式的标准方程的异同点是什么？【提示】对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称
10、轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即(p0)；(4)焦点到准线的距离均为p.不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号探究2通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？【提示】在抛物线的标准方程中，一次项起了关键作用(1)如果一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x轴上，系数
11、为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；(2)如果一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下探究3我们知道，二次函数yax2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？【提示】焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x22py，通常又可以写成yax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程yax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程【精彩点拨】设F(2,0)，由题意MF|x|2，或根
12、据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论【自主解答】法一：设F(2,0)，由题意MF|x|2，|x|2，化简得y24x4|x|动点M的轨迹方程是y0(x0)或y28x(x0)法二：(1)当x0时，动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x2的距离相等，动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，且p4，抛物线的方程为y28x(x0)(2)当x0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴距离比它到(2,0)的距离小于2，动点M的轨迹方程y0(x0)综上，动点M的轨迹方程为y0(x0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_【解析】由题意可求出线段OA
13、的垂直平分线交x轴于点，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x.【答案】x二、解答题9已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值【解】法一：由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点为F，因为点M在抛物线上，且MF5，所以有解得或故所求的抛物线方程为y28x，m的值为2.法二：由题可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点为F，准线方程为x，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则35，p4，抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，m224，m2.10求焦点在x轴上，且焦点在双曲线1上的
14、抛物线的标准方程【解】由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为.焦点在双曲线1上，1，求得m4，所求抛物线方程为y28x或y28x.能力提升1设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_. 【导学号：09390043】【解析】圆心到抛物线准线的距离为p4，根据已知，只要FM4即可根据抛物线定义，FMy02，由y024，解得y02.故y0的取值范围是(2，)【答案】(2，)2设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_
15、【解析】因为抛物线y2ax(a0)的焦点F的坐标为，所以直线l的方程为y2，它与y轴的交点为A，则OAF的面积为4，解得a8，故抛物线的方程为y28x或y28x.【答案】y28x或y28x3已知点P是抛物线y24x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x3)2(y3)21上的一动点Q的距离为d2，则d1d2的最小值是_【解析】由抛物线的定义得P到抛物线准线的距离为d1PF，d1d2的最小值即为抛物线的焦点F(1,0)到圆(x3)2(y3)21上的一动点Q的距离的最小值，最小值为F与圆心的距离减半径，即为4，故填4.【答案】44如图241所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米图241(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米)【解】如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以p.所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h，则DBh0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.