1、第7讲主元法巧解双变量问题 一选择题（共5小题）1（2021浙江模拟）已知任意，若存在实数使不等式对任意的，恒成立，则A的最小值为4B的最小值为6C的最小值为8D的最小值为10【解答】解：由题意可得，可得等价为，又时，不等式显然成立，只需考虑，可得，由任意，即，可得即对恒成立，由在，递增，可得函数在处取得最大值6，则，又即对恒成立，而在，的最小值为处取得，可得最小值为，可得，则，故由可得，即的最小值为6，故选：2（2021秋杭州期中）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：由题意可得，整理得此方程可看作关于的一元二次方程，它一定有实根，
2、整理得，解得或故选：3（2021春金华期末）若存在正实数，使得，则A实数的最大值为B实数的最小值为C实数的最大值为D实数的最小值为【解答】解：，可得，由于存在，可得上式有两个正根，可得，即有，且，解得或，则的最大值为，故选：4（2021沙坪坝区校级模拟）已知函数在区间，上有零点，则的取值范围是A，BC，D【解答】解：不妨设，为函数的两个零点，其中，则，则，由，所以，可令，当，恒成立，所以（2），（3），则的最大值为，此时，还应满足，显然，时，故选：5（2021浦江县模拟）已知实数，满足，则的最小值为ABCD【解答】解：若取最小值，则异号，根据题意得：，又由，即有，则，即的最小值为，故选：二填空
3、题（共5小题）6（2021秋西陵区校级月考）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为，或【解答】解：，由等差数列的求和公式可得，整理得，由于方程可看作关于的一元二次方程，方程一定有根，故，整理得，解得，或故答案为：，或7（2021春金东区校级期中）若正数，满足，则的最大值是【解答】解：依题意有正数解，因为对称轴，所以，即有解，因为对称轴为，所以，解得，故答案为：8（2021杭州二模）若，设，则的最小值为【解答】解：当且仅当，时取等号的最小值为故答案为：9（2021春台州期末）若，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是，【解答】将原不等式看成关于变量得不等式，即，其判
4、别式为，因此不等式的解为，因为，所以，故答案为：10（2021秋上海月考）设函数，若当时，恒成立，则的取值范围是【解答】解：由，可判断为奇函数，且单调递增，恒成立，即恒成立，恒成立，当时，解得，故实数的取值范围是，故答案为：三解答题（共22小题）11（2021秋包河区校级期中）（1）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围（2）已知，时，不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）不等式对任意实数恒成立，即为，而，当时，取得最小值4，则，解得，即的取值范围是，；（2），时，不等式恒成立，即为，设（a），可得，且（1），即，可得，即为或，则的取值范围是，12（2021新课标）已知函数（1）
5、设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【解答】解：（1）函数，是的极值点，（2），解得，当时，当时，单调递减区间是，单调递增区间是（2）证法一：当时，设，则，由，得，当时，当时，是的最小值点，故当时，（1），当时，证法二：函数，即，令，则，（1），当时，当时，在单调递增，在单调递减，（1），当时，13（2017春福州期末）已知函数，（1）当为何值时，曲线在处的切线与轴垂直；（2）讨论的单调性；（3）当时，试证明【解答】（1）解：，曲线在处的切线与轴垂直，（1），即，得；（2）解：，当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递增，在，单调递减；（3）证明：由（2）知，当时，令，则，解得
6、在上单调递增，在单调递减（1），即，14（2021巴中模拟）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，【解答】解：（1）当时，则，故则在上单调递减（2）当时，要证明对任意的，则只需要证明对任意的，设（a），看作以为变量的一次函数，要使，则，即，恒成立，恒成立，对于，令，则，设时，即，在上，单调递增，在上，单调递减，则当时，函数取得最大值，故式成立，综上对任意的，15（2021秋衢州期末）已知函数，为的导函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）当时，求证：对任意的，且，有【解答】解：（1）当时，可得
7、（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即（2）依题意，从而可得，整理可得：，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为（1），无极大值（3）证明：由，得对任意的，且，令，则，令，当时，由此可得在，单调递增，所以当时，（1），即，因为，所以，由（1）、（2）可知，当时，（1），即，故，由可得，故当时，任意的，且，有16（2021重庆模拟）已知函数，其中，（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，任意，不等式恒成立时最大的记为，当，时，的取值范围【解答】解：（1），当时，的减区间为，没有增区间；当时，的增区间为，
8、减区间为；（2）原不等式恒成立，令，令在上递增；当（1）时，即，所以时，在，上递增，（1）当（e），即，时，在，上递减；当（1）（e）时，在上递增；存在唯一实数，使得，则当时，当，时，此时，令在，上递增，综上所述，17（2021浙江模拟）已知函数，函数，（）求函数的单调区间（）若，对恒成立，求的取值范围为自然对数的底数）【解答】解：，所以当，则函数在上递增；当，所以函数在上递减，在上递增（6分）（），可知，对恒成立，取，可知（7分）因，则，则，（10分），（11分）设，解得，则函数在上递减，在上递增，在上递减所以，所以（15分）18（2016秋阜宁县期中）已知二次函数（1）当时，用作差法证明：
9、；（2）已知当，时，恒成立，试求实数的取值范围【解答】（1）证明：，又，；（2）解：由题意，得对，恒成立当时，；当时，令，记，则，又19（2021漳州一模）已知函数，其中，（）若是函数的极值点，求的值；（）若在区间上单调递增，求的取值范围；（）记，求证：【解答】解：（）；是函数的极值点；（1），解得；经检验为函数的极值点，所以在区间上单调递增；在区间上恒成立；对区间恒成立；令，则；当时，有；的取值范围为（）；令；则；令，则；显然在，上单调递减，在上单调递增；则（1），则；故20（2021嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”已知
10、函数，（）求函数的单调区间；（）若为的一个“子函数”，求的最小值【解答】解：，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，由可得：时，函数取得极小值即最小值，（3），时，且为连续函数，因此只需即有实数解即，则，令，即在，上有实数解将看成直线，令，则，令，的最小值为21（2021浙江）已知实数，设函数，（）当时，求函数的单调区间；（）对任意，均有，求的取值范围注：为自然对数的底数【解答】解：（1）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（1），得，当时，等价于，令，则，设，则，当，时，则，记，则，列表讨论：，10单调递减极小值（1）单调递增（1），当时，令，则，故在，上单调递增，由得（1），
11、由知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的的取值范围是，22（2021秋上城区校级期中）已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有，求的取值范围注：为自然对数的底数【解答】解：（1）由题意，当时，定义域为，令，即，解得；令，即，解得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）令，恒成立，得，下证当时，恒成立，先证，只需证，即证，即证，显然成立，当时，当时恒成立，函数在上单调递减，当时，恒成立23（2021商丘二模）已知函数（1）如图，设直线将坐标平面分成，四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：，
12、且，有【解答】解：（1）函数的定义域为，且当时，又直线恰好过原点，所以函数的图象应位于区域内，于是，即，令，令，得，时，单调递增，时，单调递减，的取值范围是：（2），设，则，时为单调递减函数，不妨设，令，可得，且单调递减函数，为单调递减函数，即24（2021荔湾区校级模拟）已知函数的导函数为（1）若函数存在极值，求的取值范围；（2）设函数（其中为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合【解答】解：（1），当或时，恒成立，即函数在上单调递增，故函数无极值，当时，设两个根为，当，单调递增，当，单调递减，当，单调递增，故函数在取得极大值，故函数在取得极小值，综上所述，的
13、取值范围为（2），对任意，在上恒成立，即对任意，在上恒成立，在上恒成立，即对任意恒成立，设，在上单调递增且为连续，（1），函数在存在唯一零点，当时，单调递减，当，时，单调递增，为函数的极小值，即得对任意恒成立，2，即正整数的取值集合为，25（2016春哈密市校级月考）已知函数（1）求函数的单调区间和最小值；（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；（3）若，求证：（b）【解答】解：（1）（1分）令得：，；令得：；（2分）在，上为增函数；在，上为减函数（4分）（2）由（1）知：当时，有（b），（6分），即：，（8分）（3）将（a）（b）变形为：（a）（b）（7分）即只证：（a）设函数（8分），
14、令，得：在，上单调递增；在，上单调递减；的最小值为：，即总有：（12分），即：，（13分）令，则（a）（b），（a）（b）成立（14分）26（2021秋广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，（）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值【解答】解：（）函数的定义域为，其导数为由或，设，当时，；当时，即在区间上递增，在区间上递减，又当时，当时，且恒成立当或时，方程无根，函数只有一个极值点当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，故函数只有一个极值点当时，方程有两个根、且，函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三
15、个极值点综上所述，当或时，函数只有一个极值点（）依题意得，令，则对，都有成立，当时，函数在上单调递增，注意到，若，有成立，这与恒成立矛盾；当时，因为在上为减函数，且，函数在区间上单调递增，在上单调递减，若对，都有成立，则只需成立，当时，则的最小值，函数在上递增，在上递减，即的最小值的最大值为；综上所述，的最小值的最大值为27（2015微山县校级二模）设函数（）求的极值；（）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（）若，证明：【解答】（本小题满分14分）解：（）函数，则，令，解得：，且当时，时，因此：的极小值为（）令，则注意到：，若要，必须要求，即，亦即另一方面：当时，恒成立；故实数的取值
16、范围为：构造函数，在上是单调递增的；故（b）（a），即：另一方面，构造函数，在上是单调递减的故（b）（a）即：综上，28（2021泉州二模）已知函数，（1）若，求实数的值（2）若，（a）（b），求正实数的取值范围【解答】解：（1）函数，由，得，令，则，在单调递增，又，当时，单调递增，当时，单调递减，当且仅当时等号成立，方程有且仅有唯一解，实数的值为0（2）令（b），则，当时，单调递增当时，单调递减，故（b），令，则，若时，在单调递增，满足题意；若时，满足题意；若时，在单调递减，不满足题意综上，正实数的取值范围是，29（2021江苏）设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零
17、点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：【解答】解：（1），（4），解得（2），设令，解得，或令，解得，或和的零点均在集合，1，中，若：，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，因此，可得：可得时，函数取得极小值，（1）（3）证明：，令解得：，可得时，取得极大值为，令，可得：，令，函数在上单调递减，函数在上单调递增，30（2021春湖南期中）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）函数，证明：当时，恒成立【解答】解：（1），（1分）当时，的单调递增区间为，（2分）当时，令，令，（3分）的单调递增区间为，单调递减区间为（4分）（2）方法一：直接求导，令，（5分
18、），令，令，（6分），（7分）令，（8分）下面证明，即证，令，（9分）则，在递减，（11分）当时，恒成立（12分）方法二：，要证，只需证，（5分）令，（6分）令，（7分），（8分）证明方式，（9分），（10分），（11分）当时，恒成立（12分）证明方式下面只需证明，令，（a）在递减，（10分）（a）（1），（11分）当时，恒成立（12分）31（2021天津）已知函数，为的导函数（）当时，（）求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有【解答】解：当时，故，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，令，解得，当，当，函数在上单调递减，在上
19、单调递增，是极小值点，极小值为（1），无极大值（）证明：由，则，对任意的，且，令，则，令，当时，在单调递增，当，（1），即，由（）可知当时，（1）即，由可得，当时，对任意的，且，有32（2016新课标）设函数（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，【解答】解：（1）函数的导数为，由，可得；由，可得即有的增区间为；减区间为；（2）证明：当时，即为由（1）可得在递减，可得（1），即有；设，当时，可得递增，即有（1），即有，则原不等式成立；（3）证明：设，则需要证明：当时，；，在单调递减，而，（1），由（1）中的单调性，可得，由（2）可得（1），使得，即时，时，；即在递增，在递减；又因为：（1），时成立，不等式得证；即，当时，