1、第46讲 解析几何中的四点共圆问题 一、单选题1（2020全国全国模拟预测）已知，分别为双曲线（，）的左右焦点，点为双曲线右支上一点，直线交轴于点，且点，四点共圆（其中为坐标原点），若射线是的角平分线，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D2（2020河北张家口市宣化第一中学高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上下顶点分别为，右顶点为，右焦点为，延长与交于点，若四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD二、多选题3（2021山东菏泽二模）已知，为双曲线C：x2=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF1PF2，直线PF2与y轴交于点Q，连接QF1，PQF1，的内切圆圆心为I，则下列结论
2、正确的有（ ）AF1，F2，P，I四点共圆BPQF1的内切圆半径为1CI为线段OQ的三等分点DPF1与其中一条渐近线垂直4（2021江苏海安模拟预测）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，则（ ）AB直线与双曲线渐近线的交点为，则，四点共圆C该双曲线的共轭双曲线的方程为D过的弦长为5的直线有且只有1条三、双空题5（2021全国模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线上不同的三点，满足，且O，A，B，C四点共圆，则直线BC的方程是_；四边形的面积为_四、填空题6（2021广西模拟预测（理）过作与双曲线（，的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于、两点，若四点
3、共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为_7（2021浙江高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是_.五、解答题8（2021浙江省东阳市第二高级中学高二期中）已知椭圆的焦距为2，O为坐标原点，F为右焦点，点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的方程为，AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交l于点P，过点O与AB平行的直线交/于点Q，直线PF交直线OQ于点R，直线QF交直线MO于点S证明：O，S，F，R四点共圆；记QRF的面积为，QSO的面积为，求的取值范围9（202
4、1吉林梅河口市第五中学高二月考）已知双曲线：与点（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、四点共圆10（2021福建福州模拟预测）已知斜率为的直线交椭圆于A，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点（1）若，求直线的方程以及的取值范围；（2）不管怎么变化，都有A，四点共圆，求的取值范围11（2021重庆高二期末）设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是.（1）求动点的轨迹方程；（2）设动点的轨迹为曲线，不过原点且斜率为的直线与曲线交于不同的两点，线段的中点为，直线与曲线交于,D两点，证明：，四点共圆.12（2021北京中央民族大学附属
5、中学三模）已知椭圆的两焦点分别为、，椭圆上的动点满足，、分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线与交于点，与轴交于点，与的交点为，求证：、四点共圆.13（2021上海黄浦三模）已知直线交抛物线于两点.（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.14（2021四川泸州三模（理）从抛物线上各点向轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；（2）过点的直线交曲线于两点、
6、，线段的垂直平分线交曲线于两点、，探究是否存在直线使、四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由15（2021四川泸州三模（文）已知抛物线：（）上的点到其焦点的距离为1（）求和的值；（）求直线：交抛物线于两点、，线段的垂直平分线交抛物线于两点、，求证：、四点共圆16（2021江苏高二单元测试）已知直线交抛物线于两点（1）设直线与轴的交点为若，求实数的值；（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆17（2021全国高三专题练习（理）已知抛物线的焦点为F，准线为为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线交于点M（1）若直线m的斜率为，求的值；（2
7、）设的中点为N，若四点共圆，求直线m的方程18（2020浙江丽水高三月考）如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，以AB为直径的圆交x轴于M，N，且当轴时，（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AN，AM分别交抛物线C于G，H（不同于A），直线AB交GH于点P，且直线AB的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB使得B，H，P，M四点共圆19（2020广西师范大学附属中学高三月考）已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，离心率为，P是C上异于A，B的动点.（1）证明：直线AP，BP的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设，直线AP，BP分别交直线l：x=3于M，N两点，O为坐标原点
8、，试问：在x轴上是否存在定点T，使得O，M，N，T四点共圆？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.20（2020甘肃天水市第一中学二模（文）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、四点共圆，求直线的方程.21（2020江西师大附中三模（理）已知椭圆上三点、与原点构成一个平行四边形（1）若点是椭圆的左顶点，求点的坐标；（2）若、四点共圆，求直线的斜率22（2020江苏南京三模）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(ab0)经过点(2
9、,0)和,椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标；（3）若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.23（2020江苏高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点点在椭圆上，且（1）若椭圆的离心率为，短轴长为求椭圆的方程；（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围24（2020全国一模（文）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线E上一点，且点P的横坐标为2，.（1）求抛物线E的方程；（2）过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过点F且
10、与直线m垂直的直线n与准线l交于点M，设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程.25（2020全国高三专题练习（文）已知直线与轴，轴分别交于，线段的中垂线与抛物线有两个不同的交点、（1）求的取值范围；（2）是否存在，使得，四点共圆，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由26（2019江苏海安高级中学高三期中）如图，在平面直角坐标系中，已知为椭圆上异于长轴端点的一点，过与轴平行的直线交椭圆的两条准线于点，直线，交于点.（1）若与的面积相等，求椭圆的离心率；（2）若，.求椭圆的标准方程；试判断点，是否四点共圆，并说明理由.27（2019江苏江苏高三专题练习）如图，已知椭圆C的方程为，为半焦距，椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆C的离心率为（1）若椭圆过点，两条准线之间的距离为，求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C相交于，两点，且四点共圆，若，试求的最大值