1、数学归纳法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，从nk推导到nk1时，左边需要增乘的代数式为()A2(2k1) B2k1C. D.解析：当nk时，等式左端为(k1)(k2)(kk)，当nk1时，等式左端为(k11)(k12)(kk)(kk1)(2k2)，从nk推导到nk1时，左边需增乘的式子为2(2k1)答案：A2证明1(nN*)，假设nk时成立，当nk1时，左端增加的项数是()A1项 Bk1项Ck项 D2k项解析：当nk时，不等式左端为1；当nk1时，不等式左端为1增加了项，共
2、(2k11)2k12k项答案：D3若命题A(n)(nN*)nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：由题意知nn0时命题成立能推出nn01时命题成立，由nn01时命题成立，又推出nn02时命题也成立，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定答案：C4已知数列an的前n项之和为Sn且Sn2nan(nN)，若已经算出a11，a2，则
3、猜想an等于()A. B.C. D.解析：a11，a2，又S31a36a3，a3.同理，可求a4，观察1，容易猜想出an.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_解析：2101 024103,29512.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中的分母变化知，.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7用数学归纳法证明：159(4n3)(2n1)n.证明：当n1时，左边1，右边1，命题成立假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即159(4k3)k
4、(2k1)则当nk1时，左边159(4k3)(4k1)k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1)2(k1)1(k1)右边，当nk1时，命题成立由知，对一切nN*，命题成立8设f(x)，x11，xnf(xn1)(n2，nN)(1)求x2，x3，x4的值；(2)归纳xn的通项公式，并且数学归纳法证明解析：(1)因为x11且f(x)，xnf(xn1)，所以x2f(x1)，x3f(x2)，x4f(x3).(2)根据(1)的计算结果，可以归纳出xn(nN)下面用数学归纳法证明：当n1时，x11，显然成立假设当nk(kN)时，结论成立，即xk(kN)，那么当nk1时，有xk1f(xk)，即nk1
5、时结论也成立由和，知xn对任意nN都成立9(10分)是否存在一个等差数列an，使得对任何自然数n，等式a12a23a3nann(n1)(n2)都成立，并证明你的结论解析：将n1,2,3分别代入等式得方程组：解得a16，a29，a312，设等差数列an的公差为d，则d3，从而an3n3.故存在一个等差数列an3n3，使得当n1,2,3时，等式成立下面用数学归纳法证明结论成立当n1时，结论显然成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即a12a23a3kakk(k1)(k2)那么当nk1时，a12a23a3kak(k1)ak1k(k1)(k2)(k1)3(k1)3(k1)(k22k3k6)(k1)(k2)(k3)(k1)(k1)1(k1)2所以当nk1时结论也成立由知存在一个等差数列an3n3，使得对任何自然数n，等式a12a23a3nann(n1)(n2)都成立
