1、教学设计利用二分法求方程的近似解教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步三维目标1让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法2了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想3回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣重点难点用二分
2、法求方程的近似解课时安排1课时导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价师：在现实生活中我们也常常利用这种方法譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路
3、出了故障(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢
4、？推进新课解方程2x160.解方程x2x20.解方程x32x2x20.解方程(x22)(x23x2)0.我们知道，函数f(x)ln x2x6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？什么叫二分法？试求函数f(x)ln x2x6在区间(2，3)内零点的近似值.总结用二分法求函数零点近似值的步骤.思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：x8.x1，x2.x1，x1，x2.x，x，x1，x2.如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围
5、“取中点”，一般地，我们把x称为区间(a，b)的中点比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内对于在区间上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法因为函数f(x)ln x2x6，用计算器或计算机作出函数f(x)ln x2x6的对应值表x123456789f(x)41.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89
6、.945 912.079 414.197 2由表可知，f(2)0，f(3)0，则f(2)f(3)0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x0，取区间(2,3)的中点x12.5，用计算器算得f(2.5)0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以x0(2.5,3)同理，可得表(下表)与图像(如图1)区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.562 50.066(2.5,2.562 5)2.531 250.009(2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531
7、25,2.546 875)2.539 062 50.010(2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，所以，我们可以将x2.531 25作为函数f(x)ln x2x6零点的
8、近似值给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：图11确定区间，验证f(a)f(b)0，给定精度.2求区间(a，b)的中点c.3计算f(c)：a若f(c)0，则c就是函数的零点；b若f(a)f(c)0，则令bc此时零点x0(a，c)；c若f(c)f(b)0，则令ac此时零点x0(c，b)4判断是否达到精度，即若|ab|，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤24.由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算例1 求方程2x33x30的一个实数解，精确到0.01.解：
9、考察函数f(x)2x33x3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间经试算，f(0)30，f(2)190，所以函数f(x)2x33x3在内存在零点，即方程2x33x30在内有解取的中点1，经计算，f(1)20，又f(0)0，所以方程2x33x30在内有解如此下去，得到方程2x33x30的实数解所在区间的表如下左端点右端点第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50.75第5次0.6250.75第6次0.687 50.75第7次0.718 750.75第8次0.734 3750.75第9次0.742 187 50.75第10次0.742 187 50.746 0
10、93 75第11次0.742 187 50.744 140 625至此，可以看出，区间内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x33x30精确到0.01的实数解点评：利用二分法求方程近似解的步骤：确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令ba1；利用二分法求近似解.变式训练利用计算器，求方程x22x10的一个近似解(精确到0.1)活动：教师帮助学生分析：画出函数f(x)x22x1的图像，如图2所示从图像上可以发现，方程x22x10的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(1,0)内根据图像，我们发现f(2)10，f(3)20，这表明此函数图像在区间(2,
11、3)上穿过x轴一次，即方程f(x)0在区间(2,3)上有唯一解图2计算得f0，发现x1(2,2.5)(如图2)，这样可以进一步缩小x1所在的区间解：设f(x)x22x1，先画出函数图像的简图，如图2.因为f(2)10，f(3)20，所以在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)0.250，所以2x12.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)0.437 50，所以2.25x12.5.如此继续下去，得f(2)0，f(3)0x1(2,3)，f(2)0，f(2.5)0x1(2,2.5)，f(2.25)0，f(2.5)0x1(2.25,
12、2.5)，f(2.375)0，f(2.5)0x1(2.375,2.5)，f(2.375)0，f(2.437 5)0x1(2.375,2.437 5)因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个近似解为2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.例2 利用计算器，求方程lg x3x的近似解(精确到0.1)活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生分别画出ylg x和y3x的图像，如图3所示在两个函数图像的交点处，函数值相等因此，这个点的横坐标就是方程lg x3x的解由函数ylg x与y3x的图像可以发现，方程lg x3x有唯一解
13、，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内图3解：设f(x)lg xx3，设x1为函数的零点即方程lg x3x的解用计算器计算，得f(2)0，f(3)0x1(2,3)，f(2.5)0，f(3)0x1(2.5,3)，f(2.5)0，f(2.75)0x1(2.5,2.75)，f(2.5)0，f(2.625)0x1(2.5,2.625)，f(2.562 5)0，f(2.625)0x1(2.562 5,2.625)因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为2.6.例3 求方程ln x2x30在区间内的根(精确到0.1)解：设f(x)ln x2x3，则原方程的根为函
14、数f(x)的零点设x1为函数的零点即方程ln x2x30的解因为f(1)1，f(2)0.306 852 819，所以f(1)f(2)0，即函数f(x)在内有一个零点根据二分法，用计算器得出以下表格：xy1120.306 852 81931.901 387 71143.613 705 63955.390 562 08867.208 240 53179.054 089 851810.920 558 46(步长为1)xy111.50.405 465 10820.306 852 8192.51.083 709 26831.901 387 7113.52.747 237 03243.613 705 63
15、94.54.495 922 603(步长为0.5)xy111.250.723 143 5511.50.405 465 1081.750.059 615 78720.306 852 8192.250.689 069 7832.51.083 709 2682.751.488 399 088(步长为0.25)xy111.1250.867 783 0351.250.723 143 5511.3750.568 453 7311.50.405 465 1081.6250.235 507 8151.750.059 615 7871.8750.121 391 34(步长为0.125)xy1.50.405 46
16、5 1081.562 50.321 287 1021.6250.235 507 8151.687 50.148 248 1431.750.059 615 7871.812 50.030 292 8921.8750.121 391 341.937 50.213 601 517(步长为0.062 5)由上述表格可以得到下表与图像(图4)：区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.405 465 108(1.5,2)1.750.059 615 787(1.75,2)1.8750.121 391 34(1.75,1.875)1.812 50.030 292 892图4因为f(1.75)0.059
17、615 7870，f(1.812 5)0.030 292 8920，所以区间内的所有值若精确到0.1，都是1.8.所以1.8是方程ln x2x30精确到0.1的实数解点评：先设出方程对应的函数，画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解二分法，即逐渐逼近的方法计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易根据下表中的数据，可以断定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.0x212345A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)分析：设f(x)exx2，f(1)0，f(2)0，即f(1)f(2)0，x(1
18、,2)答案：C从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)答案：至少需要检查接点的个数为4.活动：学生先思考或讨论，再回答教师提示、点拨，及时评价引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用思想方法：函数方程思想、数形结合思想习题41A组1,3.“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用
19、本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性求方程x33x10的一个正的近似解？(精确到0.1)解：设f(x)x33x1，设x1为函数的零点，即方程x33x10的解作出函数f(x)x33x1的图像(图5)图5因为f(1)30，f(2)10，所以在区间(1,2)内方程x33x10有一个解，记为x1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)2.1250，所以1.5x12.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)0.890 6250，所以1.75x12.如此继续下去，得f(1)0，f(2)0x1(1,2)，f(1.5)0，f(2)0x1(1.5,2)，f(1.75)0，f(2)0x1(1.75,2)，f(1.875)0，f(2)0x1(1.875,2)，f(1.875)0，f(1.937 5)0x1(1.875,1.937 5)，因为区间内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以，1.9是方程x33x1的实数解(设计者：张新军)