1、安徽省六校教育研究会2013届高三联考数学（理科）试题注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 2答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效. 第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的1.复数的虚部是( )A B C D2.命题p：若a，bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件 命题q：函数的定义域是，则 ( ) A.“p或q”为假 B“p且q”为真C.p真q假 D.p假
2、q真3.在极坐标系中，以A（0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是（ ）A.=4sin B.=2 C.=4cos D. =2sin+2cos4.已知集合， ，则等于( )A(1,1) B(1,1)，(2，2)C(2，2) D5.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入关于的条件是 .（ ）A.i=10 B.i9 C.i10 D.i116.若双曲线的一条渐近线的倾斜角(0，),则的取值范围是（ ） A. B. C. D.7.四棱锥的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为( )A B C D8.角的顶点在坐
3、标原点O,始边在轴的正半轴上，终边在第三象限过点,且；角的顶点在坐标原点O,始边在轴的正半轴上，终边在第二象限经过点，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 9.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取两条，这两条直线异面的概率是（ ）A. . B. C. D.10.设若关于的不等式的解中恰有四个整数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第卷（非选择题 共100分） 二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置11.已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是 12.某单位为了了解用电量y（度）
4、与气温之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：气温（0C）181310用电量（度）24343864由表中数据可得线性回归方程中的，预测当气温为时，该单位用电量的度数约为_度13.高三某班级有6名同学参加自主招生，准备报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为_。（用数字作答）14.设函数，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为 .15.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“和谐区间”下列函数中存在“和谐区间”的有_（只需填符合题意的条件序号）； 三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）函数 的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为，且经过点.(1) 求函数的单调递增区间；(2) 若，且，求的值.17.（本小题满分12分）美国NBA总决赛采用七局四胜制，赛前预计2012年参加决赛的两队实力相当，且每场比赛组织者可获得200万美元，问：（1）比赛只打4场的概率是多少？（2）组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元的概率是多少？（3）组织者在本次比赛中获利的期望是多少？18（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形， ，且（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值 19.（本小题满分12分）已知椭圆的离
6、心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（1）求椭圆的方程；(2）设过点且斜率不为的任意直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）设函数，。分别是的导函数。（1）若，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值若不存在，说明理由;（2）设有两个零点和，且、成等差数列，是的导函数，试探究值的符号21.（本小题满分14分）已知曲线 ，过上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点，其中（1）求与之间的关系式；（2）求证：数列是等比数列；（3）求证：安徽省六校教育研究会2013年高三素质测试数学试题（理科）参考答案一、选择题(本大题共1
7、0个小题，每小题5分，共50分)题号12345678910选项CDACDADBCB二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11 1280 13540 14 15三 解答题： 16 解：（）由已知： .3分令 得 所以单调递增区间是； .6分（2）由，得， 所以= 12分17. （本小题满分12分）（1）依题意，某队以4：0获胜。其概率为P=2 4分（2）组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元，则至少打6场，分两种情况：（1）只打6场，则比赛结果应是某队以4：2获得胜利，其概率为,(2)打7场，则比赛结果应是某队以4：3获得胜利，其概率为P2=由于两种情况互斥，P=P1+P2=，
8、获利不低于1200万美元的概率为. 8分（3设组织者在本次比赛中获利万美元，则的分布列为：800100012001400PE=800（万美元） 12分18.（本小题满分12分）（1）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 又 ，所以 因为 ， 所以 平面 3分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 又平面，所以/ 平面 6分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 设因为四边形为菱形，则，所以， 所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 10分 易知平面的法向量为 由
9、二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 12分(本小题也可以作出二面角的平面角，直接计算出该角的余弦值)19.（本小题满分12分）（1）解：由 ， 得 . 依题意是等腰直角三角形，从而，故. 所以椭圆的方程是. 5分（2）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 将 ，代入上式，整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分. 12分20.（本小题满分13分）（1）由f(1)=g(1)，f(1)=g(1),得 b=1, a+b=2，解得a=b=1则g(
10、)=lnx+x2分因与有一个公共点(1，1)，而函数=在点(1,1)的切线方程为y=2x1.下面验证 f(x)2x1 ,g(x)2x1 都成立即可由0，得2x1，知f(2x1恒成立设h=lnx+x，即=lnxx+1，易知其在(0,1)上递增，在上递减，所以h=lnx+x的最大值为=0，所以lnx+x2x1恒成立故存在这样的k和m，且k=2，m=.6分（2）G(x0)的符号为正，理由为：G(x)=x22alnxbx有两个不同的零点x1，x2，则有，两式相减得x22x12a(lnx2lnx1)b(x2x1)=0.即x1x2b=，于是G(x0)2x0b=(x1x2b)= = ln = ln，当0x11，且G(x0)=lnt，故(t)=lnt (t1)，(t)=0，则(t)在1，)上为 增函数，而(1)0，(t)0，即lnt0，又a0，x2x10，G(x0)0，当0x20，综上所述：G(x0)值的符号为正.13分21.解：（1）直线方程为，4分（2）设由（1）得又是等比数列； 8分（3）由（2）得 10分当n为偶数时，则； 12分当n为奇数时，则而综上所述，当时，成立 14分
