1、第一章 计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1(1x)2n1(nN*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3解析：因为2n1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n1，n2.答案：C2设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为()A2B1C1D2解析：令等式中x1可得a0a1a2a11(11)(1) 92，故选A.答案：A3已知(12x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(12x)n(1x)展开式中含
2、x2项的系数为()A71 B70 C21 D49解析：因为奇数项的二项式系数和为2n1，所以2n164，n7，因此(12x)n(1x)展开式中含x2项的系数为C(2)2C(2)70.答案：B4已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64B32 C63D31解析：由已知(12)n3n729，解得n6，则CCCCCC2632.答案：B5若的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是()A3 B4 C10 D12解析：Tr1C(x)nrC()nr(1)rxnrxC()nrxnr，令nr0，得nr.所以n取最小值为4.答案：B二、填空题6(a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展
3、开式的第八项T8_解析：CCC2n151229，所以n10，所以T8Ca3()7120a.答案：120a7(1xx2)(1x)10的展开式中，x5的系数为_解析：由题意可得：(1xx2)(1x)10(1xx2)(x1)10(x31)(x1)9，即考查代数式：x3(x1)9(x1)9中x5的系数，据此可得，系数为：C(1)7C(1)4162.答案：1628如图所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_1223434774511141156162525166解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的
4、第2个数为：123(n1)11.答案：46三、解答题9设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99.解：(1)令x0，得a02100.(2)令x1，得a0a1a2a3a4a100(2)100，所以a1a2a3a4a100(2)1002100.(3)令x1，得a0a1a2a3a100( 2)100.由联立，得a1a3a5a99.10(12x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解：T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26，解得n8.所以(12x)n
5、的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第(k1)项系数最大，则有解得5k6.又因为k0，1，2，8，所以k5或k6.所以系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.B级能力提升1若9nC9n1C9C是11的倍数，则自然数n为()A奇数 B偶数C3的倍数 D被3除余1的数解析：9nC9n1C9C(9n1C9nC92CC)(91)n1(10n11)是11的倍数，所以n1为偶数，n为奇数答案：A2(2015山东卷)观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN*时，CCCC_解析：具体证明过程可以是：CCCC(2C2C2C2C)(CC) (CC)(CC)(CC)(CCCCCC)22n14n1.答案：4n13已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解：由得Tr1CCx，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3Ca454.解得a.