1、3.2 简单的三角恒等变换学 习 目 标核 心 素 养 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用(难点、易混点)1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模素养.1半角公式2辅助角公式asin xbcos xa2b2sin(x)(其中 tan ba)1已知 180360，则 cos2的值等于()
2、A1cos 2 B.1cos 2C1cos 2D.1cos 2C 180360，902180，cos 20，故应选 C.22sin 2cos()Asin4B2 2sin34C2 2sin4D.2sin4C 原式2 2sin 22 cos 22 2 2sin cos 4cos sin4 2 2sin4.3函数 f(x)2sin xcos x 的最大值为5 f(x)2212sin(x)5sin(x)5.4已知 24，且 sin 35，cos 0，则 tan2的值等于3 由 sin 35，cos 0 得 cos 45，tan2sin2cos22sin2cos22cos22 sin 1cos 3514
3、53.化简求值问题【例 1】(1)设 56，cos2a，则 sin4等于()A.1a2 B.1a2C 1a2D1a2(2)已知 32，化简：1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos.思路点拨：(1)先确定4的范围，再由 sin241cos22得算式求值(2)1cos 2cos22，1cos 2sin22，去根号，确定2的范围，化简(1)D 56，252，3，454，32.又 cos2a，sin41cos221a2.(2)解 原式sin2cos222cos2 2sin2 sin2cos222cos2 2sin2.32，2234，cos20，sin20，原式sin2cos22 2
4、sin2cos2 sin2cos222sin2cos2 sin2cos22sin2cos22 2cos2.1化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的 2 倍关系(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan2sin 1cos 1cos sin，涉
5、及半角公式的正、余弦值时，常利用 sin221cos 2，cos221cos 2计算(4)下结论：结合(2)求值提醒：已知 cos 的值可求2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号跟进训练1已知 sin 45，32，求 sin 2，cos 2，tan 2的值解 32，sin 45，cos 35，且2234，sin 21cos 22 55，cos 21cos 2 55，tan 2sin2cos22.(另 tan21cos sin 135452.)三角恒等式的证明【例 2】求证：cos21tan2tan214sin 2.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2 不变，直接用二
6、倍角正切公式变形 证明 法一：用正弦、余弦公式 左边cos2cos2sin2sin2cos2 cos2cos22sin22sin2cos2cos2sin2cos2cos22sin22 cos2sin2cos2cos sin2cos2cos 12sin cos 14sin 2右边，原式成立 法二：用正切公式 左边cos2tan21tan2212cos22tan21tan2212cos2tan 12cos sin 14sin 2右边，原式成立三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形
7、，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.跟进训练2求证：2sin xcos xsin xcos x1sin xcos x11cos xsin x.证明 左边 2sin xcos x2sinx2cosx22sin2x2 2sinx2cosx22sin2x2 2sin xcos x4sin2x2cos2x2sin2x2 sin x2sin2x2 cos x2sinx22cos2x22sinx2cosx21cos xsin x右边 所以
8、原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例 3】若函数 f(x)cos4x4 2sinx4 cosx4 sin4x4.(1)求 f(x)的对称中心和初相；(2)若 x0，求函数 f(x)的单调递减区间解 f(x)cos4x4 2sinx4 cosx4 sin4x4 cos2x4 sin2x4 sin2x2 cos2x2 sin2x2 sin 2xcos 2x 2sin2x4，(1)由 2x4k，kZ，可得 xk2 8，kZ，f(x)的对称中心为k2 8，0，kZ，又 f(x)2sin2x4 2sin2x54，f(x)的初相为54.(2)由22k2x422k，kZ，可得 k38 xk8
9、，kZ，f(x)的递减区间为：k38，k8，kZ，又 x0，f(x)的单调递减区间为0，8，58，.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简 统一化成fxasin xbcos xk的形式 利用辅助角公式化为fxAsinxk的形式，研究其性质跟进训练3已知函数 f(x)sin2x4 sin2x4 3cos 2x，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间4，4 上的值域解 f(x)sin2x4 sin2x4 3cos 2x 1cos2x221cos2x22 3 cos 2x sin 2x 3 cos 2x2sin2x3.(1)f(x)的最小正周期为22；
10、(2)由 x4，4，得 2x36，56，f(x)1,2 即 f(x)在区间4，4 上的值域为1,2.三角函数在实际问题中的应用探究问题1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成 yAsin(x)b 的形式【例 4】如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB 的周长最大？思路点拨：设AOB 建立周长l 求l的最大值解 设AOB，OAB 的周长为 l，则 ABRsin，OBRcos，lOAABOB
11、 RRsin Rcos R(sin cos)R 2Rsin4 R.02，4434，l 的最大值为 2RR(21)R，此时，42，即 4，即当 4时，OAB 的周长最大1在本例条件下，求长方形面积的最大值解 如图所示，设AOB0，2，则 ABRsin，OARcos.设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S2OAAB，S2Rcos Rsin R22sin cos R2sin 2.0，2，2(0，)因此，当 22，即 4时，SmaxR2.这时点 A，D 到点 O 的距离为 22 R，矩形 ABCD 的面积最大值为 R2.2若本例中的木料改为圆心角为3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形
12、面积的最大值解 如图，作POQ 的平分线分别交 EF，GH 于点 M，N，连接 OE，设MOE，0，6，在 RtMOE 中，MERsin，OMRcos，在 RtONH 中，NHONtan6，得 ON 3NH 3Rsin，则 MNOMONR(cos 3sin)，设矩形 EFGH 的面积为 S，则 S2MEMN2R2sin(cos 3sin)R2(sin 2 3cos 2 3)2R2sin23 3R2，由 0，6，则32323，所以当 232，即 12时，Smax(2 3)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为
13、三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质，寻找数量关系.注意实际问题中变量的范围.重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1研究形如 f(x)asin xbcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数 a，b 应熟练掌握，例如 sin xcos x 2sinx4；sin x 3cos x2sinx3 等2常用的三角恒等变换思想方法(1)常值代换用某些三角函数值或三
14、角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行我们把这种代换称为常值代换(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式 tan sin cos，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称(3)降幂与升幂由 C2 变形后得到公式：sin212(1cos 2)，cos212(1cos 2)，运用它就是降幂反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1cos 22cos2，1cos 22sin2，就是升幂(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化常见的角的
15、变换有：()，()，12()()，12()()，(2)等1下列叙述错误的是()A若 k，kZ，则 tan2sin 1cos 1cos sin 恒成立B若函数 f(x)A1sin(x1)，g(x)A2sin(x2)(其中 A10，A20，0)，则 h(x)f(x)g(x)的周期与 f(x)和 g(x)的一致C辅助角公式 asin xbcos xa2b2sin(x)，其中 所在的象限由 a，b的符号决定，与点(a，b)同象限Dsin x 3cos x2sinx6.D A、B、C 均正确，D 应该是 sin x 3cos x2sinx3.2(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在0，a
16、是减函数，则 a 的最大值是()A.4 B.2C.34DC f(x)cos xsin x 2cosx4.当 x0，a时，x44，a4，所以结合题意可知，a4，即 a34，故所求 a 的最大值是34.故选 C.3函数 f(x)sin2x 的最小正周期为 因为 f(x)sin2x1cos 2x2，所以 f(x)的最小正周期 T22.4.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，求 cos 2.解 由题意，得 5cos 5sin 1，0，4，所以 cos sin 15.由(cos sin)2(cos sin)22，所以 cos sin 75，所以 cos 2cos2sin2(cos sin)(cos sin)725.