1、课时分层作业(七)椭圆的几何性质(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1若椭圆1(0a36)的焦距为4，则a_.解析0a36，36a22，a32.答案322椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是_. 【导学号：71392069】解析方程可化为1，易知a5，b3，c4，所以长轴长为10，短轴长为6，离心率为.答案10,6，3已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则a2_，b2_.解析因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b29.答案2594已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个
2、焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析由题意得2a12，所以a6，c3，b3.故椭圆方程为1.答案15椭圆1的离心率为，则实数m的值为_解析当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，且m4，则e211，m；当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，且0m4，则e211，m3.答案3或6椭圆1(ab0)的左焦点F到过顶点A(a，0)，B(0，b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为_. 【导学号：71392070】解析由题意知直线AB的方程为1，即bxayab0.左焦点为F(c,0)，则.(ac)，7(ac)2a2b2a2a2c22a2c2，即5a214ac8c20，8e214e50，解得e或e
3、.又0eb0)，得y2b2，y.设P，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)OPAB，kOPkAB，bc.而a2b2c22c2，ac，e.又ac，解得a，c，b，所求椭圆的标准方程为1.10设直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点(1)求实数b的取值范围；(2)当b1时，求|AB|. 【导学号：71392071】解(1)将yxb代入y21，消去y，整理得3x24bx2b220. 因为直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点，所以16b212(2b22)248b20，解得b.所以b的取值范围为(，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当b1时，方程为3x24x0.解得x
4、10，x2.所以y11，y2.所以|AB|.能力提升练1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为_解析根据题意，因为AF1B的周长为4，所以AF1ABBF1AF1AF2BF1BF24a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1. 答案12若A为椭圆x24y24的右顶点，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为_解析由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为yx2，代入x24y24，
5、得5x216x120，解得x12，x2.把x代入椭圆方程，得y，所以三角形的面积S.答案3过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是_. 【导学号：71392072】解析因为k，所以点B在第一象限由题意可知点B的坐标为.因为点A的坐标为(a，0)，所以k，所以.又因为b2a2c2，所以1e，所以1e，解得e，故椭圆离心率的取值范围是.答案4.如图225，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为2.图225(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点Q在椭圆C上，且F1QF2，求QF1QF2的值；(3)设直线yxk与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值解(1)椭圆过点P(3,1)，1.又S2c12，解得c2.又a2b2c2解得a212，b24，椭圆的标准方程为1.(2)当F1QF2时，有QF1QF2.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x26kx3k2120，故x1x2，x1x2，y1y2.以AB为直径的圆经过坐标原点，x1x2y1y2k260，解得k，此时1200，满足条件，因此k.