1、密市第十五中学20192020学年第二学期期中考试高一数学试卷（I）客观题一、选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.直线：ax+4my+3a=0 (m0)过点(1，-1)，那么的斜率为（ ）A. B. -4C. D. 4【答案】C【解析】【分析】依题意，从而可得，继而可求得直线的斜率【详解】解：直线过点，解得，又，直线的斜率故选：C 【点睛】本题考查直线的斜率，求得与的关系是关键，属于基础题2.直线被圆截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么利用圆心到直线的距离公式，利用勾股定理可知弦长为选C3.从装有2个红球
2、和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球
3、”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.459和357的最大公约数（ ）A. 3B. 9C. 17D. 51【答案】D【解析】【分析】利用辗转相除法求解即可.【详解】即459和357的最大公约数为故选：D【点睛】本题主要考查了辗转相除法的应用，属于中档题.5.如图所示的程序框图的运行结果是（ ）A. 2B. 2.5C. 3.5D. 4【答
4、案】B【解析】，故选B6.用秦九韶算法计算函数f（x）=x42x2+x1，当x=1时的值，则v3=（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】将函数转化为求解.【详解】因为，当x=1时，.故选：C【点睛】本题主要考查秦九韶算法，还考查了推理求解问题的能力，属于基础题.7.在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程，并且由观测数据算得，则当 时，预测数值（ ）A. 108.5B. 210C. 140D. 210.5【答案】A【解析】【分析】先根据题中的条件求出，然后再进行预测即可【详解】由题意得样本中心为，由于回归直线过样本中心，所以，解得，所以回归直线方程为当时，故选A【
5、点睛】回归直线方程过样本中心是回归分析中的一个重要结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数，解题时要注意这一结论的应用，属于基础题8.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A. 13B. 17C. 19D. 21【答案】C【解析】【分析】直接根据系统抽样的定义与性质求解即可.【详解】因为，所以由系统抽样的定义可知编号间隔是，所以样本中的另一个学生的编号为，故选C【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的
6、总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.9.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再利用解得的区间长度与区间的长度求比值即可.【详解】由不等式，即，得，所以事件“”发生的概率为.故选：B.【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，对数函数的图象与性质的应用问题，属于基础题10.下列关于函数ytan(的说法正确的是()A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是C. 图象关于点成中心对称D. 图象关于直线x成轴对称【答案】B【解析】令，解得，显然不满足上上述关系式，故错误；易知该函数
7、的最小正周期为，故正确；令，解得，任取值不能得到，故错误；正切曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误故选11.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将条件分子分母同除以，可得关于的式子，代入计算即可【详解】解：由已知故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是基础题12.已知若点在第四象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件可得，解出的取值范围【详解】解：由已知得，得又，即当时，解得，当时，解得，综合得故选：A【点睛】本题考查由三角不等式求角的范围，是基础题（I
8、I）主观题二、填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知四张卡片上分别标有数字2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知抽取两张数字相同的2种，总共的抽法张随机抽两张，由组合可得抽法共，由此可求概率.【详解】由题意可得抽取两张数字相同的2种，抽法共，.故答案为：【点睛】本题主要考查的组合问题，考查学生的逻辑分析能力，属于基础题.14.角属于第_象限角.【答案】二；【解析】【分析】通过与角终边相同的角所在的象限判断得解.【详解】由题得与终边相同的角为当k=1时，与终边相同的角为，因为在第二象限，所以角属于第二象限的角.故答案为二【点
9、睛】本题主要考查终边相同的角，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是_【答案】【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到，然后算出函数的周期，利用周期的公式，得到，最后将点 代入，得： 结合，可得 所以的解析式是详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得，又函数的周期 ，利用周期的公式，可得，将点 代入，得： 结合，可得 所以的解析式是点睛：本题给出了函数y=Asin（x+）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（x+）的图象与性质的知识点，属于中档题16.在区间内随机地取出两个数，则两数之和小
10、于的概率是_【答案】(或)【解析】【分析】设取出的两个数分别为x、y，可得满足“x、y（0，1）”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于”对应的区域为正方形的内部且在直线下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案【详解】设取出的两个数分别为x、y，可得0x1且0y1，满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，即如图的正方形OABC的内部，其面积为S=11=1，若两数之和小于，即，对应的区域为直线下方，且在正方形OABC内部，即如图的阴影部分直线x分别交BC、AB于点 因此，阴影部分面积为 由此可得：两
11、数之和小于的概率为 故答案为【点睛】本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于的概率着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题三、解答题.(答案应写出文字说明、演算步骤和证明过程）17.A袋中有1个红球和1个黑球，B袋中有2个红球和1个黑球，A袋中任取1个球与B袋中任取1个球互换，这样的互换进行了一次，求：(1)A袋中红球恰是1个的概率；(2)A袋中红球至少是1个的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】将A袋中的1个红球和1个黑球分别编号为红1，黑1，B袋中的2个红球和1个黑球分别编号为红2，红3，黑2，列出基本
12、事件空间，以及A袋中红球恰是1个得事件和)A袋中红球至少是1个的事件，利用古典概型求出各自概率.【详解】将A袋中的1个红球和1个黑球分别编号为红1，黑1，B袋中的2个红球和1个黑球分别编号为红2，红3，黑2，则A袋中任取1个球与B袋中任取1个球的基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，黑2)，(黑1，红2)，(黑1，红3)，(黑1，黑2)，由6个基本事件组成(1)互换后A袋中红球恰是1个的概率P1.(2)互换后A袋中红球至少是1个的概率P2.【点睛】本题考查古典概型，属基础题.18.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛
13、为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在75.585的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）234人.【解析】【分析】（1）计算第二组的频数为，第三组的频率为，第四组的频数为：，频率为：，得到答案.（2）根据表格补全频数分布直方图得到答案.（3）计算成绩在75.585学生频率为0.26，得到答案.【详解】（1）由已知样本容量为50，故
14、第二组的频数为，第三组的频率为，第四组频数为：，频率为：，故频率分布表为：分组频数频率506040.860.570.580.1670.580.5100.2080.590.5160.3290.5100.5120.24合计501.00（2）如图：（3）成绩在75.580的学生占70.580的学生的，因为成绩在70.580的学生频率为0.2，所以成绩在75.580的学生频率为0.1.成绩在80.585的学生占80.590的学生的，因为成绩在80.590的学生频率为0.32，所以成绩在80.585的学生频率为0.16所以成绩在75.585的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校
15、获得二等奖的学生约为（人）.【点睛】本题考查了频数分布直方图，根据样本估计总体，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.已知，且为第三象限角.（1）求，的值；（2）求值：【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解即可；（2）根据诱导公式求解即可.【详解】（1），.（2）原式=.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值，属于中档题.20.已知f(x)2sin(2x)a1(a为常数).（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若当x0，时，f(x)的最大值为4，求a的值；（3）求出使f(x)取得最大值时x的取值集合.【答案】（1）；（2）1；
16、（3）.【解析】【分析】（1）由，即可求得的递增区间；（2）由，可求得，从而可求得的最大值，再由的最大值为4可求的值；（3）由即可求出使取最大值时的集合【详解】解：（1）由得，所以，递增区间为；（2），的最大值为2，在，的最大值为4，（3），取最大值时集合，【点睛】本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于一般题21.已知圆，直线.（1）求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式，结合不等式的性质，即可得证；（
17、2）设中点为，讨论直线的斜率是否存在，运用垂径定理，即可得到所求轨迹方程和轨迹【详解】解：（1）证明：圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同交点；（2）设中点为，因为直线恒过定点，当直线的斜率存在时，又，化简得当直线的斜率不存在时，此时中点为，也满足上述方程所以的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径圆【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线和圆的位置关系，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题22.某地举办水果观光采摘节，并推出配套旅游项目，统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图（1）若将消费金额不低于
18、80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目，请列出所有的可能结果，并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该地特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折若水果的价格为11元千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案.【答案】（1）2人；（2）；（3）选择方案二更优惠【解析】【分析】（1）根据
19、频率分布直方图可知水果达人共25人，抽取5人，抽样比为，根据频率分布直方图消费金额不低于100元的人数为10人，即可计算抽取人数（2）抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为，消费金额不低于100元的有2人，记为，根据古典概型求解即可（3）分别计算两个方案，比较大小即可求解.【详解】（1）样本中“水果达人”的频率为，所以样本中“水果达人”人数为由图可知，消费金额在与的人数比为3:2，所以消费金额不低于100元的人数为，所以，抽取的这5人中消费金额不低于100元的人数为2人.（2）抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为，消费金额不低于100元的有2人，记为，所有可能结果有，共10个样本点，其中满足题意的有7个样本点，所以所求概率为（3）方案一：需支付元方案二：需支付元所以选择方案二更优惠.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概型，属于中档题.