1、开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(51)圆锥曲线的综合问题一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1B1或3C0 D1或0解析：由得ky28y160，若k0，则y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.答案：D2已知AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为()Ab2 BabCac Dbc解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x1，y1)，则SFAB|OF|2y1|c|y1|bc.答案：D3过抛物线y22px (p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与
2、抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于()A5 B4C3 D2解析：记抛物线y22px的准线为l，作AA1l，BB1l，BCAA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos60，由此得3，选C.答案：C4设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：x28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|MF|y02.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.答案：C5已知双曲线E的中心为原点，
3、F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：kAB1，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25，双曲线E的方程为1.答案：B6已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A3 B4C3 D4解析：设直线AB的方程为yxb.由x
4、2xb30x1x21，得AB的中点M.又M在直线xy0上，可求出b1，x2x20，则|AB| 3.答案：C7如图，已知过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6m4的值是()A1 B.C2 D4解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，m，将xmym代入抛物线方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根与系数的关系，得y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面积S|y1y2|(m)42，两边平方即可得m6m42.答案
5、：C8直线l：yx3与曲线1交点的个数为()A0个 B1个C2个 D3个解析：当x0时，曲线为1；当x0时，曲线为1，如图所示，直线l：yx3过(0,3)，又由于双曲线1的渐近线yx的斜率1，故直线l与曲线1(x0)有两个交点，显然l与半椭圆1(x0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点. 答案：D9已知双曲线1(a0，b0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k20，若|k1|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，则k1，k2.又M、N
6、、P都在双曲线1上，b2(x2x)a2(y2y).|k2|，即|k1|k2|.又|k1|k2|2.1，即4b2a2.4(c2a2)a2，即4c25a2.，即e2，e.答案：B10已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 BC1 D0解析：设点P(x，y)，其中x1.依题意得A1(1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y23(x21)(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x2y2x2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2.答案：A二、填空题11设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线
7、相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1x22，且x4y1，x4y2，两式相减整理得，所以直线AB的方程为x2y70.将x2y7代入x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由抛物线定义得|y1y2210.答案：1012. 已知椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|_.解析：将x代入椭圆方程得yp，由|PF1|PF2|4|PF2|4|PF1|4.答案：13直线ykx2与抛物线y28x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是_解析：设A(x1，y1)、
8、B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由题意得即k2.答案：214已知双曲线1 (a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与(1,0)到直线1的距离之和sc，则e的取值范围是_解析：由题意知sc，2c25ab，.又，2e25，4e425(e21)，4e425e2250，e25，e.答案：三、解答题152013安徽设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上解析：(1)因为焦距为1，所以2a21，解
9、得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P，故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上答案：(1)1；(2)证明略162013江西如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过
10、点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：(1)由P在椭圆上得，1，依题设知a2c，则b23c2，代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程3x24y212并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.注意到A，F，B共线，则有kkAFkBF，即有k.所以
11、k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意方法二：设B(x0，y0)(x01)，则直线FB的方程为y(x1)，令x4，求得M，从而直线PM的斜率为k3.联立得A，则直线PA的斜率为：k1，直线PB的斜率为：k2，所以k1k22k3，故存在常数2符合题意答案：(1)1；(2)存在，2.创新试题教师备选教学积累资源共享12013课标全国已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|
12、.解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，
13、设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.22013广东已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解析：(1)由题设条件，可得：，由c0得c1
14、.所以C的方程为：x24y.(2)设过点P(x0，y0)的两切线的切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则直线AB的方程可表示为：yy1(xx1)由于y，过A，B的切线的斜率分别为kA和kB.因此直线PA的方程可表示为：yy1(xx1)，结合x4y1得yy1x；同理PB的方程可表示为：yy2x.由于P(x0，y0)在这两条直线上，所以因此将代入得到直线AB的方程为：yx0xy0(或yx0xx02或y(y02)xy0)(3)由于y1为抛物线C的准线，所以|AF|BF|y1(1)|y2(1)|y1y2y1y21|.由(2)可知(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的两解，由得(yy0)2x
15、2，将代入(yy0)2x2得到：y2(2y0x)yy0.易得：y1y2x2y0，y1y2y.|AF|BF|y1y2y1y21|x(y01)2|PF|2.由于点F到直线l的距离为，故|AF|BF|的最小值为.32013湖南已知F1，F2分别是椭圆E：y21的左、右焦点，F1，F2关于直线xy20的对称点是圆C的一条直径的两个端点(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程解析：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线xy20的对称点设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以
16、圆C的方程为(x2)2(y2)24.(2)由题意，可设直线l的方程为xmy2，则圆心到直线l的距离d.所以b2.由得(m25)y24my10.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y2，y1y2.于是a .从而ab2.当且仅当，即m时等号成立故当m时，ab最大，此时，直线l的方程为xy2或xy2，即xy20，或xy20.42013重庆如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外
17、求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程解析：(1)由题意知点A(c,2)在椭圆上，则1.从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2 |x0| .当x0时，PPQ的面积S
18、取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.52013山东椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k0，试证明为定值，并求出这个定值解析：(1)由于c2a2
19、b2，将xc代入椭圆方程1，得y，由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)方法一：设P(x0，y0)(y00)又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1y0x(x0)yy00，lPF2y0x(x0)yy00.由题意知.由于点P在椭圆上，所以y1，所以.因为m，2x02，可得.所以mx0.因此m.方法二：设P(x0，y0)当0x02时，当x0时，直线PF2的斜率不存在，易知P或P.若P，则直线PF1的方程为x4y0.由题意得m，因为m，所以m.若P，同理可得m.当x0时，设直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x)，yk2(x)由题意知，所以.因为y1，并且k1，k2，所以，即|.因为m，0x02且x0，所以.整理得m，故0m且m.综合可得0m.当2x00时，同理可得m0.综上所述，m的取值范围是.(3)证明：设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.由(2)知，所以8，因此为定值，这个定值为8.