1、微专题1.等和线及应用如图所示，由于三点共线，故当且仅当. 进一步，若，由于点在直线上的任意性可知，点所动成的直线平行于直线，且直线上任意一点都满足，故称直线为等和线. 此时相似于，因此，我们就可以取特殊情形，即过三点的直线分别垂直于，时，计算.例1.（2017年3卷）在矩形中，点在以为圆心且与相切的圆上，若，求的最大值.解析：如图，由等和线性质可知，显然，当的平行线与圆在最上方相切时，取最大，显然此时，直线的方程为，故可取为点到直线的距离.由于的平行线与圆相切，故可得的方程为，那么取为点到直线的距离.这样就可得到.练习题给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120，如图所示,点C在以O为
2、圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_；的最大值是_.【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证，当时，取最大值，；（2）取OA中点E，则OC交BE于F，设,，易证，当时，取最大值，.微专题2.极化恒等式由于，两式相减可得： 特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：. 例2（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )A BCD解析：设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，故取最小值当且仅当取最小，即，故.练习2.（2021成都三诊）已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（ ）ABCD例2 半径为2的圆O上有三点
3、A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解析】由得在平行四边形中，故易知四边形是菱形，且设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得所以因为是圆内一点，所以所以，即，选A.练习1.（2016年陕西预赛）设是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 练习2.（2018浙江预赛）设.若平面上点P满足，对于任意,有，则的最小值为_，此时_.微专题3.矩形大法本节主要讲述矩形的一个重要性质即：设点为矩形所在平面内任意一点，则有.注：可用向量证，证明略.例3.（2021绵阳二诊）直角坐标系中，点为圆上的动点，且以为直径的圆过点，则面积的最小值
4、为A. B. C. D.解析：如图，构造矩形，则，即，则在以为圆心，半径为的圆上.同时，由矩形对角线相等可得：，设，则的取值范围为,故.由，再根据垂径定理可得，最后，讨论函数的性质可知，.练习4.已知圆，定点，动点分别在圆上运动且满足，则线段的取值范围为_.微专题4.三角形四心新教材惊现“四心”，距离它现身高考还有多久？一重要结论1.重心：三角形三条中线的交点，重心为证明：是所在平面内一点，=0点G是ABC的重心.证明:作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）重心
5、性质1是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明：G是ABC的重心=0=0，即，由此可得.（反之亦然（证略）重心性质2. 如图，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则.证明：点G是的重心，知O，得O，有.又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得， 有=，得，于是得2外心：三角形三条中垂线的交点.外心外心性质：如图，为的外心，证明：1.；，同理可得等.2.，同理可得等.3.，同理可得等.证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.附：如图，直角三角形中，. 3内心.三角形三条角平分线的交点.内心为内心性质.是平面上的一定点，A,B,
6、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.4垂心：三角形三条高线的交点.垂心为垂心性质.点是ABC所在平面内任一点，点是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（证略）二典例分析1若O在ABC所在的平面内，a，b，c是ABC的三边，满足以下条件，则O是ABC的（）A垂心B重心C内心D外心解析：且，化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是A
7、BC的内心.故选：C.2在中，向量与满足，且，则为（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形解析：，的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，又，则为等腰直角三角形，故选：D.3已知是内部（不含边界）一点，若，则（）ABCD1解析：如图，连接AD并延长交BC与点M,设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,因为，所以设，因为AM与向量AD共线，设,所以，即，,所以故选：A4已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，则的最小值为（）AB2CD解析：表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，所以点在的平分线上，即为的角平分线，在中，利用正弦定
8、理知：同理，在中，其中，分析可知当时，取得最小值，即5在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A垂心B内心C外心D重心【答案】C6已知点是锐角的外心，若，则（）A6B5C4D3解析：如图所示，过点分别作，垂足分别为，；则，分别为，的中点，；又，化为，联立解得，；故选：B7为所在平面内一点，则的面积等于（）ABCD解析：如图所示，以为相邻边作平行四边形，连接，交于点，则为的中点，也是的中点，因为，所以，又因为，所以，因为，所以且，又因为，所以，且,所以，所以的面积.故选：C.8已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且若，则（）ABCD解析：取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，所以，
9、而，所以，四点共线，所以，即，不妨令，则，所以故选：C9设H是的垂心，且，则_.解析：是的垂心由题设得.再由，得，.故.故答案为:【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.10已知点为三角形所在平面内的一点，且满足，则_解析：， ，两边同时平方可得，则，故答案为微专题5.奔驰定理奔驰定理：点是所在平面上不与重合的一点，若，则，即.反之亦然. 图1 图22.三角形四心的向量表达如图2，为内一点，设分别表示的边长，则（1）为的重心；（2）为的外心；（3）为的内心；（4）为的垂心.这样，我们就以奔驰定理为基本依次推出了三角形四心的向量形式，下来，我们将重点介绍四心向量形式
10、的应用.二联赛中的应用例1已知点在内，且满足，设、的面积依次为、，则_例3.解析：因为，所以，所以例2.设为三角形ABC内一点，且满足关系式： _.解析：将化为，.设M、N分别是AB、AC的中点，则.设ABC的面积为S，由几何关系知，所以.微专题6.向量式隐圆例1.（2018年浙江高考）已知、是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）ABC2D解析：设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.例2.已知向量满足，且与的夹角为，则的最大值为_.解析：如图，则，依题可知：，故三角形均在圆上，的最大值即为该圆的直径，由正弦定理可知：类型2.圆的内
11、接四边形基本结论：若四边形有一组对角互补，则四点共圆.例3.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_.解析：依题夹角为，而向量的夹角为，故由四点共圆结论可知，向量的终点与四点共圆，则的最大值即为圆的直径，由于则由正弦定理：二习题演练习题1设向量，满足，的夹角为60，则的最大值等于（）A2BCD1解析：，故设 ，的夹角为60，故，又，故四点共圆，设圆的半径为R,故当=2R时，取最大，易得故选：A习题2已知平面向量，其中，向量与的夹角为，则的最大值为（）AB3C4D解析：设，则，且又向量与的夹角为，则，即C点的轨迹为优弧上的点，则圆心角，三角形AOB为正三角形，圆半径，则当取圆O的直径向量时，取最大值为4. 故选：C.