1、湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（ ）A. 37种B. 1848种C. 3种D. 6种【答案】A【解析】【分析】利用分类加法原理，分类进行求解.【详解】取法分为三类：第一类：从语文书中取1本，有12种取法；第二类：从数学书中取1本，有14种取法；第三类：从英语书中取1本，有11种取法；所以共有12+14+11=37种取法.故选：A.【点睛】本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单.2.下列函数
2、中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据选项逐个验证，得出答案.【详解】由于，是非奇非偶函数，是偶函数但没有零点，只有是偶函数又有零点.故选：A.【点睛】本题主要考查函数的性质，函数的奇偶性一般利用定义进行判定，属于基础题.3.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分步计数原理进行求解.【详解】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有种不同结果.故选：A.【点睛】本题主要考查
3、分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键.4.6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用捆绑法进行求解.【详解】甲、乙、丙3人站在一起有种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有种，共有种.故选：D.【点睛】本题主要考查排列问题，相邻问题一般利用捆绑法求解，侧重考查数学建模的核心素养.5.从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.详解】依题意
4、,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.6.9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（ ）A. 81B. 60C. 6D. 11【答案】A【解析】【分析】至少有2件一等品包含三类：恰有2件一等品，恰有3件一等品，恰有4件一等品.分别求解再相加即可.【详解】分三类：恰有2件一等品，有种取法；恰有3件一等品，有种取法；恰有4件一等品，有种取法.所以抽法种数为.故选：A.【点睛】本题主要考查组合问题，合理分类是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.7.天气预报，在假期甲地的降雨概率是0
5、.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.38D. 0.56【答案】C【解析】【分析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果.【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群
6、体的10位成员中使用移动支付的人数，则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题9.已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的值为（ ）A. 14B. 10C. 14或23D. 10或23【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理展开式通项公式求出第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差中项求解.【详解】由题意得，即，化简得，解得或【点睛】本题主要考查二项式定理，明确二项式系数为是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10.
7、函数的图像大致为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 11.已知函数，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数解析式作出函数图象，结合图象得出的取值范围.【详解】作出的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使
8、，则，且，即对任意恒成立，所以.综上，.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合图象求解恒成立问题的关键是准确作出图象，侧重考查数学抽象的核心素养.12.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查
9、学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（每小题5分，共20分）13.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有（种）.【考点定位】排列14.在展开式中，常数项为展开式的第_项.【答案】13【解析】【分析】先求出的通项公式，再令指数为零可得常数项为展开式的第13项.【详解】由题意，由题意得，解得，所以在展开式中，常数项为展开式的第13项.故答案为：13.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式，通项公式是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的
10、核心素养.15.书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_种不同的插法（具体数字作答）【答案】504【解析】【分析】利用定序相除法进行求解，先求9本书的所有排法，再求原来6本书的排法，相除可得结果.【详解】原来的6本书，加上新买的3本书，随意排列共有种排法，原来的6本书随意排列共有种排法，而原来特有的顺序只有1种，所以共有种方法.故答案为：504.【点睛】本题主要考查排列问题，特定顺序要求的排列问题，一般是利用定序相除法来求解，侧重考查数学建模的核心素养.16.定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围_.【答案】
11、【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性,可得 对 恒成立,通过参变分离即得 且对 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到 的取值范围.【详解】解: 定义在R上的函数满足 为偶函数 对任意的不相等的实数，有成立 上单调递减,在 上单调递增由在上恒成立得在上恒成立在上恒成立,即对恒成立此时 且对 恒成立设,则令,解得 , 随 的变化如下表 0 当时, 设,则当时, 在 上单调递减,即当 时,则.综上所述, 故答案为: .【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数,有成立,说明 在区间 上为减函数; 若对任意的不
12、相等的实数,有成立,说明 在区间 上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？【答案】4.2515【解析】【分析】先求所有可能获利的情况，然后再求解每种情况对应的概率
13、，结合期望公式可求均值.【详解】设这台机器3个工作日内可能获利万元，则的可能取值为5、2.5、0、的分布列如下：52.500.7290.2430.0270.001所以，这台机器在3个工作日内可能获利的均值为（万元）【点睛】本题主要考查随机变量的期望，求解随机变量的所有可能值及其相应概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.（1）求B；（2）若，且，求BD的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据共线得到，利用正弦定理化简得到答案.（2）根据余弦定理得到，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）与共线，.即，即，.
14、（2），在中，由余弦定理得：，.则或（舍去）.，.在中，由余弦定理得：，.【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.19.如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：本题考查线面垂直的判定和二面角的求法（1）利用面面垂直的性质证明即可（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解试题解析：(1)证明：因为为正方形，所以.又平面平面，平面平面，所以平面.（2）由（1）知，又，所以.所以两两垂直以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即，令，则得同理
15、可得平面的法向量为，所以.由图形知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为点睛：用法向量法求二面角的大小时，两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等，这里有两种情形，即法向量的夹角可能与二面角相等，也可能互为补角解题时，在求得两个法向量的夹角的基础上，再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再得出二面角的大小20.2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源.保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的
16、活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间内）绘制成如图所示的频率分布直方图.若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）记这3人中，为测试成绩在内的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，1.2.【解析】【分析】（1）先根据分层抽样求出两组的人数，再根据古典概率求解所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）先求的
17、所有取值，再求解分布列和数学期望.【详解】认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人，4人.（1）从10人中任选3人，有种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有，故所抽取的3人不属于同一组的概率为；（2）由条件可得的取值可能有0，1，2，3，且，.的分布列为0123的数学期望为.【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列及期望，准确求解随机变量对应值的概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.21.已知椭圆的焦距为，点在上.（I）求的方程；（II）过原点且不与坐标轴重合的直线与有两个交点，点在轴上的射影为，线段
18、的中点为，直线交于点，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.【答案】（I）（II）定值【解析】试题分析：（1）（I）由题意知，的焦点坐标为，利用定义求解 的值，即可得到椭圆的标准方程；（II）设，则由点在椭圆上得，两式相减得，得，.因为三点共线，所以，即可证得为定值. 试题解析：（I）由题意知，的焦点坐标为， ，. 所以，椭圆的方程为. （II）设，则由点在椭圆上得，两式相减得，. ，.因为三点共线，所以，即. ，为定值.22.已知函数 （1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）在 上为单调增函数，求a的取值范围；（3）设m，
19、n为正实数，且mn，求证： 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）导函数为，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程（2）由题意可在上恒成立，所以在上恒成立，分离参数得，所以，（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形为，设求导可证h(x)0.试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意 从而切线斜率，切点（1,0），所以切线方程为 （2），因为f（x）在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立当时，由，得 设，所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2所以，所以 所以a的取值范围是 （3）要证，只需证，只需证，设由（2）知在上是单调增函数，又所以，即成立，所以【点睛】对于两个变量的不等式、函数的证明，我们有一种常见方法是通过换元的形式把两个变量化成一个变量，要注意新的变元的范围，如本题令构造新的函数，再进行证明