1、基础达标1双曲线x21的渐近线方程为()Ay3xByxCyxDyx解析：选D.方程化为x21，a，b1.渐近线方程为yx.已知双曲线的渐近线为yx，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.1B1C.1D1解析：选D.焦点在x轴上.，c4，c242a2b2a2(a)24a2，a24，b212.故选D.已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，则它的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx解析：选C.e，e21()23，又焦点在x轴，渐近线方程为yx.设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为()A.BC1D1解析：选B.由题意知ABBC2c，又AB
2、C120，过B作BDAC，D为垂足，则|AC|2CD2BCsin 602c，由双曲线定义|AC|BC|2c2c2a，e.已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A.BC.D解析：选A.由题意得15，p8，y216x，当x1时，m216，m0，m4.M(1，4)，双曲线左顶点A(，0)，kAM，由题意，a.双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为_解析：由题意当x1时，yx2，e21
3、()21，e(1，)答案：(1，)过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x21于A，B两点，则|AB|_解析：直线的方程为y1x，即yx1，代入x21整理得3x22x50，x11，x2，|AB|x1x2|1|.答案：已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_解析：双曲线的一个顶点为(a，0)，它到渐近线xy0的距离为1，a2，又ba.故双曲线方程为1.答案：1(1)求与双曲线1有共同渐近线，并且经过点(3，2)的双曲线的方程(2)已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264共焦点，求双曲线的方程解：(1)设所求双曲线方程为(0)，
4、将点(3，2)代入，得，解得.所以所求双曲线方程为1.(2)法一：椭圆方程可化为1，易得焦点是(4，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，其渐近线方程是yx，则.代入a2b2c248，解得a236，b212.所以所求双曲线方程为1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为xy0，则另一条渐近线方程为xy0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x23y2(0)，即1.由椭圆方程1知c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，所以48，则36.所以所求双曲线方程为1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个
5、不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b222，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是2，即0，解此不等式得k23.(*)由(*)(*)得k21.故k的取值范围为(1，)(，1)能力提升设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2
6、|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.BC.D解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，3.又e21，e24，0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_解析：因为F(2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21，设点P(x0，y0)(x0)，则有y1(x0)，解得y1(x0)，易知(x02，y0)，(x0，y0)，所以
7、x0(x02)yx0(x02)12x01，此二次函数的图像的对称轴为x0，因为x0，所以当x0时，取得最小值32132，故的取值范围是32，)答案：32，)设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切证明：如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|PF1|.又根据双曲线的定义，得|PF1|2a|PF2|，从而有|OM|(2a|PF2|)a|PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半
8、径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切同理，得|ON|PF2|(|PF1|2a)|PF1|a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切4已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，O为坐标原点，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且0，求|OP|2|OQ|2的最小值解：(1)双曲线C的渐近线方程为yx，b23a2，双曲线的方程可设为3x2y23a2.点M(，)在双曲线上，可解得a24，双曲线C的方程为1.(2)设直线PQ的方程为ykxm，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为(3k2)x22kmxm2120，.x1x2，x1x2.由0x1x2y1y20，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，(1k2)kmm20，化简得m26k26，|OP|2|OQ|2|PQ|2(1k2)(x1x2)24x1x224.当k0时，|PQ|22424成立，且满足，又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|224，所以|OP|2|OQ|2的最小值是24.