1、湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（五）试卷理科数学测试范围：学科内综合共150分，考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设,，则 （ ）ABCD2若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于 （ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则 （ ）ABCD4已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲线的离心率的范围为 （ ）ABCD5已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李
2、第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 （ ）ABCD6已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则 （ ）A2BCD17如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 （ ）A10B11C12D138设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则 （ ）A6B16C24D489设满足约束条件，则的取值范围为 （ ）ABCD10已知数列满足,，则展开式中的常数项为 （ ）ABC80D16011如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）ABCD12已知函数，若函数在上有3个零点，
3、则实数的取值范围为 （ ）ABCD第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上）13已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则 .14南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式例如方亭(正四梭台)体积为其中为上底边长，为下底边长，为高杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得 .15某一几何体三视图如图所示，已知几
4、何体的体积为，则俯视图的面积为 .16在中，分别是的中点，且，若的面积不小于，则的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列的前项和记为,，；等差数列中，且的前项和为，.（1）求与的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.18（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台我爱京剧的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目贵妃醉酒选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的
5、“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：京剧票友一般爱好者合计50岁以上15102550岁以下31215合计182240试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜次，求随机变量的分布列与期望.参考数据：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87
6、910.828参考公式：19（12分）在如图（1）梯形中，过作于，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.20（12分）已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与轴的交点为,过点的直线与椭圆相交与两点，连接点并延长,交轨迹于一点.求证：.21（12分）已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
7、作答时请写清题号22（10分）选修44坐标系与参数方程已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.（1）求直线以及曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.23（10分）选修45不等式选讲已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.数学答案与解析1【答案】B【解析】因为，所以2【答案】C【解析】由得，所以，所以对应的点在第三象限.3【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数，所以，即，因为，又为增函数，所以.4【答案】A【解析】根据题意，所以为钝角，
8、所以，所以.5【答案】C【解析】设A=抽取1张红桃和2张其他纸牌；B=第二次从中抽取1张红桃和2张方片；，所以.6【答案】D【解析】，由题意：,，即，所以.7【答案】C【解析】输入的，程序框图运行如下：，;，；，;，；，；，；，；所以输出的8【答案】B【解析】因为，在向量的射影为，所以.9【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，令，则表示点和两点的距离，由图可得，,联立，解得，所以过作于，则，故.10【答案】D【解析】因为，所以数列为等比数列，所以，所以，所以，其中展开式的第r+1项为,令，得（舍去），令可得，所以二项式展开式中常数项为11【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体
9、积为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.12【答案】B【解析】当时，所以，又时，在上单调递增，时，在上单调递减，.;，所以的值域为，设与相切时的切点为，所以切线方程为，代入，得，故切线的斜率为，所以与的图象如下：根据题意，故，所以实数的取值范围为.13【答案】6【解析】根据题意，为的中点，所以的横坐标为，所以.14【答案】【解析】观察规律令，可得.15【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为，几何体的体积为，即点到平面的距离为，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为，16【答案】【解析】根据题意，画出图形，如图所示：又点分别为的中点
10、，则，所以在中，由余弦定理得,，所以，又若的面积不少于6，所以当取最大时，有最小值，最小值为.17【解析】（1），又，所以数列为等比数列，（3分）设数列的公差为，.（6分）（2）由题意得：（9分）所以前项和.（12分）18【解析】（1）因为，（3分）所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）（2）由题意，随机变量的取值分别为.（6分）,，,，（10分）随机变量的分布列为：2345 （11分）随机变量的期望为：.（12分）19【解析】（1）连接与交于点，则，（2分）又平面，平面，平面.（4分）（2）证明：由，得四边形为平行四边形，所以，所以，所以，（6
11、分）又，所以平面，所以，又，平面ADE.（8分）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，（9分）设平面BMD的一个法向量为，所以令，则，（10分）又平面得一个法向量为，（10分）所以，又平面与平面所成的二面角显然为锐角，所以平面与平面所成的二面角的余弦值.（12分）20【解析】（1）根据题意，（1分）又设，所以，所以，（3分）故，从而椭圆的标准方程为.（4分）（2）根据题意，所以设直线的方程，联立，消得，即. 设，则.由根与系数的关系得，.（7分）设直线的方程为，所以，得，.（10分）所以故，所以.（12分）21【解析】因为，所以，又，故.（2分）（1）由题意得，若函数存在
12、单调减区间，则即存在取值区间，即存在取值区间，所以.（5分）（2）因为，所以当时，在上单调递减，由，所以，即，得；（7分）当时，在上单调递增，所以，即，得，（8分）当时，在，在上单调递减，在，在上单调递增，所以，即.（10分）令,，则，所以在上单调递减，故，而，所以不等式（）无解，综上所述，.（12分）22【解析】（1）直线的普通方程为，直线的极坐标方程，（3分）曲线的普通方程，所以.（5分）（2） 由（1）得，所以，（8分）点到直线的距离为，所以.（10分）23【解析】（1）根据题意，（3分）解，或，得或，所以解集为.（5分）（2）因为，当且仅当时，等号成立，（8分）又，所以，所以的最小值为，所以.所以.（10分）
