1、2020-2021学年北京师大天津附中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1（5分）直线经过原点和，则它的倾斜角是ABCD或2（5分）与向量，共线的单位向量是A，和，B，C，D，或，3（5分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为ABCD4（5分）过点，的直线的斜率为，则A10B180CD5（5分）设点，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是A或BCD以上都不对6（5分）若光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线从点到点走过的路程为A10BCD7（5分）直三棱柱中，为的中点异面直线与所成角的余弦值是ABCD8（5分）已知直线的倾斜角
2、为，直线经过点、，且与垂直，直线与直线平行，则等于ABC0D29（5分）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，在上，且平面，则点的坐标为A，1，B，C，D，二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）10（5分）已知，0，若且与反向，则11（5分）已知，1，若，共面，则实数12（5分）若直线的方向向量为，0，平面的法向量为，0，则直线与平面的位置关系是13（5分）长方体中，那么直线和平面的距离是14（5分）经过点，在轴、轴上截距相等的直线方程是15（5分）设，是空间两个不共线的向量，已知，且，三点共线，则实数16（5分）已知直线，直线，若，则实数的值为17（5分）如图，在正四棱锥中，点为的中点，若
3、，则实数三、解答题（本大题共4小题，共65.0分）18（11分）已知直线与直线的交点为（）求过点且与直线平行的直线的方程；（）若直线过点，且点到的距离为，求直线的方程19（18分）已知空间三点，0，1，0，设，（1）若，求；（2）若与互相垂直，求；（3）若向量与平行，求20（18分）已知的三个顶点分别为，（1）求边和所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的中垂线的方程21（18分）在直四棱柱中，已知，为上一点，且（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值2020-2021学年北京师大天津附中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选
4、择题（本大题共9小题，共45.0分）1（5分）直线经过原点和，则它的倾斜角是ABCD或【考点】：直线的倾斜角【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的倾斜角【解答】解：直线经过坐标原点和点，直线的斜率，直线的倾斜角故选：【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用2（5分）与向量，共线的单位向量是A，和，B，C，D，或，【考点】：空间向量及其线性运算【分析】求出，的，再由与共线的单位向量是，求出结果【解答】解：向量，的模为，故与向量，共线的单位向量是，即，或，故选：【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，单位向量的定义和求法，
5、属于基础题3（5分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为ABCD【考点】：点、线、面间的距离计算【分析】用空间向量解答【解答】解：；即；，故选：【点评】本题考查了空间向量的应用，属于基础题4（5分）过点，的直线的斜率为，则A10B180CD【考点】：直线的两点式方程【分析】根据直线的斜率求出的值，再计算的值【解答】解：过点，的直线斜率为，解得；故选：【点评】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题5（5分）设点，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是A或BCD以上都不对【考点】：二元一次不等式（组与平面区域【分析】根据题意，设直
6、线的方程为，即，由一元二次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，设直线的方程为，即，直线过且与线段相交，则、在的两侧或在直线上，则有，即，解可得或，即的取值范围是或；故选：【点评】本题考查一元二次不等式表示平面区域的问题，注意直线与线段相交，即线段的2个端点在直线的两侧或在直线上6（5分）若光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线从点到点走过的路程为A10BCD【考点】：与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】首先求出点关于轴的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果【解答】解：光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则首先求出点关于轴的对称点的坐
7、标为，所以光线从点到点走过的路程为，故选：【点评】本题考查的知识要点：点的对称问题的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型7（5分）直三棱柱中，为的中点异面直线与所成角的余弦值是ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【解答】解：直三棱柱中，为的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间
8、的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）已知直线的倾斜角为，直线经过点、，且与垂直，直线与直线平行，则等于ABC0D2【考点】直线的倾斜角；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】先求出的斜率，利用垂直关系可得的斜率，由斜率公式求出 的值，由得，解得值，可得结果【解答】解：的斜率为，则的斜率为1，由得，得，所以，故选：【点评】本题考查两直线平行、垂直的性质，斜率公式的应用9（5分）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，在上，且平面，则点的坐标为A，1，B，C，D，【考点】：空间中的点的坐标【分析】设、交于点，连结，由已知推导出是平行四边形，从而
9、是的中点，由此能求出点的坐标【解答】解：设、交于点，连结，正方形与矩形所在平面互相垂直，在上，且平面，又，是平行四边形，是的中点，0，故选：【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）10（5分）已知，0，若且与反向，则【考点】：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据题意可设，且，然后可得出，根据解出，即可得出的值【解答】解：，且与反向，设，0，解得，故答案为：【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题11（5分）已知，1，若，共面，则实数【考点】：共线向量与共面向量
10、；：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数的值【解答】解：由，1，且，共面，所以存在实数，使得，即，1，列方程组，得，解得，；所以故答案为：【点评】本题考查了空间向量的共面定理应用问题，也考查了解方程组的问题，是基础题12（5分）若直线的方向向量为，0，平面的法向量为，0，则直线与平面的位置关系是【考点】：共线向量与共面向量【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出【解答】解：，因此故答案为：【点评】本题考查了向量共线定理、线面垂直的判定定理，属于基础题13（5分）长方体中，那么直线和平面的距离是【考点】：点、线、面间的距离计算【分析】
11、结合长方体，将原距离转化为点和平面的距离解决，最终转化为直角三角形斜边上的高求解即可【解答】解：直线和平面，直线和平面的距离即为点和平面的距离面面，在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高由面积法得：故答案为：【点评】本题主要考查了线面距离计算，转化为点面距离即可，属于基础题14（5分）经过点，在轴、轴上截距相等的直线方程是或【考点】：直线的截距式方程【分析】分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把点坐标带入，能求出结果【解答】解：当直线过原点，即截距都为零时，直线经过原点，直线方程为，整理，得直线方程为；当直线不过原点，
12、由截距式，设直线方程为，把代入，得故答案为：或【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用15（5分）设，是空间两个不共线的向量，已知，且，三点共线，则实数1【考点】96：平行向量（共线）【分析】由题意可得向量和共线，存在实数，使，可得关于，的方程组，进行求解即可【解答】解：，三点共线，向量和共线，故存在实数，使，由题意可得，即，故可得，解得，故，故答案为：1【点评】本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键16（5分）已知直线，直线，若，则实数的值为1或3【考点】：直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由题意利用两条直
13、线平行的条件，求得 的值【解答】解：直线，直线，若，显然，解得，或，故答案为：1或3【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题17（5分）如图，在正四棱锥中，点为的中点，若，则实数4【考点】：向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】连结，交于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数【解答】解：连结，交于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，0，0，设，则，解得实数故答案为：4【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共4小题，共65.0分）18（11分）已知直
14、线与直线的交点为（）求过点且与直线平行的直线的方程；（）若直线过点，且点到的距离为，求直线的方程【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】联立，解得：坐标可得与平行的直线方程当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设，即：利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：联立，解得：所以：与平行的直线方程为：，整理得：当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设，即：由题得：，解得：，；所以，所求直线的方程为：【点评】本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19（18分）已知空间三点，0，1，0，设，（1）若，求；（2）若
15、与互相垂直，求；（3）若向量与平行，求【考点】96：平行向量（共线）；：数量积判断两个平面向量的垂直关系；：数量积表示两个向量的夹角【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出；（2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出的值；（3）根据向量共线定理，列出方程求出的值【解答】解：（1）点，0，1，0，由，设，且，解得，1，或，；（2），1，0，若与互相垂直，则，即，化简得，解得或；（3）向量，1，由向量与平行，则，解得或【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，是中档题20（18分）已知的三个顶点分别为，（1）求边和所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程
16、；（3）求边上的中垂线的方程【考点】：直线的一般式方程与直线的性质；：直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】（1）由于、两点分别在轴和轴，由直线方程的截距式列式，化简可得所在直线的方程；再由、的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出所在直线的方程（2）利用线段中点坐标公式，算出的中点坐标为，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出上的中线所在直线的方程（3）由，得边上的中垂线的斜率为，的中点坐标为，点斜式可求出直线方程【解答】解：（1），直线的截距式方程得：，化简得，由直线的两点式方程，得方程为，即，综上所述，边所在直线的方程为，边所在直线的方程为（2）设中点，由线段的中点坐标公式，可得
17、，中点坐标为再由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，化简得，即为所求边上的中线所在的直线的方程（3）由，得边上的中垂线的斜率为，又的中点坐标为，由点斜式，得边上的中垂线的方程为，即【点评】本题给出直线的点斜式，两点式，截距式方程，属于基础题21（18分）在直四棱柱中，已知，为上一点，且（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值【考点】：直线与平面平行；：二面角的平面角及求法；：直线与平面所成的角【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，可得，由此得证平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与，由两向量所成角的余弦值可得与平面所成角的正弦值；（3）由（2）
18、可得平面的一个法向量，再求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：，四边形为平行四边形，又，平行四边形为正方形，且，又四棱柱是直四棱柱，且，则且，四边形为平行四边形，得，又平面，平面，平面；（2）以点为坐标原点，射线，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，1，0，0，1，0，1，1，设平面的一个法向量为，由，取，得，设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为；（3）由（2）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，则，二面角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/4/21 14:38:29；用户：15900346347；邮箱：15900346347；学号：22380140