1、15定积分的概念15.1曲边梯形的面积15.2汽车行驶的路程1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法2.会求曲边梯形的面积和变速运动的物体行驶的路程1连续函数与曲边梯形(1)连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数(2)曲边梯形把由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形2曲边梯形的面积与变速直线运动的路程(1)求曲边梯形面积的步骤分割：如图，将a，b分割，等分成n个小区间每个小区间的长度为x.近似代替：将所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形的面积Si近似代替，其中ixi1，xi求和：由知(2)如果物体
2、做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.求曲边梯形面积的“以直代曲”思想教材在求抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积时，用每个小区间左端点的函数值近似替代在该小区间上的函数值，由图可知S矩形ABCDS曲边梯形ABED，但当n时，其和式无限趋近于一个常数，即能用来求曲边梯形的面积，从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点xi所对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，和式Snf(x1)xf(x2)xf(xn)x近似表示曲边梯形的面积图示求曲边梯形面积的四个步骤 判断正误(正确的打“”，
3、错误的打“”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()(2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值()(3)利用求和符号计算n(n1)40.()答案：(1)(2)(3) 把区间1，2n等分，所得n个小区间的长度均为()A.B.C. D.答案：C 函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小答案：D 若函数f(x)在区间a，b上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线yf(x)，直线xa，xb(ab)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间a，bn等分，用每个小区间的左端点的函数值
4、计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有()AS1SS2 BS1SS2CS1S2S DS1SS2解析：选A.由题意知，在区间a，a上，f(a)f(a)，所以S1(a)(a)S2，则S1S0)围成曲边梯形，将区间1，2进行100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是_解析：将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)1，故面积10.01.答案：0.012利用定积分的定义求由y3x，x0，x1，y0围成的图形的面积解：(1)分割：把区间0，1等分成n个小区间(i1，2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为Si(i1
5、，2，n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，得Sifx3(i1)(i1，2，n)(3)求和：Si=(i1)= 12(n1).(4)求极限：S(i1) .探究点2变速直线运动路程的求法一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)t25(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)【解】(1)分割：在时间区间0，2上等间隔地插入(n1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i1，2，n)，t，把汽车在时间段，上行驶的路程分别记为s1，s2，sn，则有snsi.(2)近似代替：取i(i1，2，n)，s
6、ivt(i1，2，n)(3)求和：snsi101222n21010810.(4)取极限：ssn.因此，行驶的路程为 km.求变速直线运动的路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间 汽车运动速度与时间的关系为v(t)t2，运动时间为2小时，将运动时间区间分割为200等份，则汽车在第i个时间区间上的运动路程是_解析：在第i个区间上的运动速度为，运动时间为，所以路程si.答案：1将区间a，b等分成n份，则每个小区间的长度为()A.B.C.D.解析：选D.因为原区间长度为
7、ba，将其等分成n份后，每一个小区间的长度均为.2._解析：(12n).答案：3求由抛物线f(x)x2，直线x1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间0，15等分，如图所示，以小区间中点的函数值为高，所有小矩形的面积之和为_解析：由题意得S(0.120.320.520.720.92)0.20.33.答案：0.33 知识结构深化拓展求曲边梯形面积的注意点(1)在“近似代替”中，在每一个小区间上通常取一个端点的值代入计算，既可用每个区间的右端点的函数值，也可用左端点的函数值，这样做是为了计算简便(2)当f(i)为负值时，取|f(i)|为一边构造小矩形(3)求和时可用到一些常见的求和公式，如：1
8、23n，122232n2，132333n3.注意用“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积，就是利用求直角梯形的面积公式求解. A基础达标1在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值()A只能是区间左端点的函数值f(xi)B只能是区间右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值D以上答案均正确解析：选C.作近似计算时，xxi1xi很小，所以在区间xi，xi1上，可以认为函数f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，所以f(x)在区间xi，xi1上的近似值可以是区间xi，xi1上任一点的函数值2设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间a，b
9、等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式Snf(i)x(其中x为小区间的长度)，那么Sn的大小()A与f(x)、区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)、区间a，b和分点的个数n有关，与i的取法无关C与f(x)、区间a，b、分点的个数n和i的取法都有关D与f(x)、区间a，b和i的取法有关，与分点的个数n无关解析：选C.因为Snf(i)xf(i)，所以Sn的大小与f(x)、区间、分点的个数和变量的取法都有关故选C.3求由直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，25等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为(
10、)A3.92，5.52 B4，5C2.51，3.92 D5.25，3.59解析：选A.将区间0，25等分为，以小区间左端点对应的函数值为高，得S13.92，以小区间右端点对应的函数值为高，得S25.52.故选A.4在求由曲线y与直线x1，x3，y0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积Si约等于()A. B.C. D.解析：选A.每个小区间长度为，第i个小区间为，因此第i个小曲边梯形的面积Si.5若做变速直线运动的物体v(t)t2，在0ta内经过的路程为9，则a的值为()A1 B2C3 D4解析：选C.将区间0，an等分，记第i个区
11、间为(i1，2，n)，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则(1222n2)近似地等于速度曲线v(t)t2与直线t0，ta，t轴围成的曲边梯形的面积依题意得 9，所以9，解得a3.6在区间0，8上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为_，第5个小区间是_解析：在区间0，8上插入9个等分点后，把区间0，810等分，每个小区间的长度为，第5个小区间为.答案：7对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是_解析：将区间0，1三等分为，各小矩形的面积和为S103.答案：8求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成
12、的平面图形的面积时，把区间1，25等分，则该平面图形面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_解析：将区间1，25等分，所得的小区间分别为1，2，于是所求平面图形面积的近似值为(1)1.02.答案：1.029利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y1x，x1，x2的图象与x轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证解：f(x)1x在区间1，2上连续，将区间1，2分成n等份，则每个区间的长度为xi，在xi1，xi上取ixi11(i1，2，3，n)，于是f(i)f(xi1)112，从而n012(n1)22.则SSn .如下进行验证：如图所示，由梯形的面积公式得：S(23)1.10一辆汽车做变
13、速直线运动，设汽车在时刻t的速度v(t)(t的单位：h，v的单位：km/h)，求汽车在t1到t2这段时间内运动的路程s(单位：km)解：(1)分割把区间1，2等分成n个小区间(i1，2，n)，每个区间的长度t，每个时间段行驶的路程记为si(i1，2，n)故路程和snsi.(2)近似代替sivt6(i1，2，3，n)(3)求和sn6n6n.(4)取极限ssn6n3.B能力提升11在等分区间的情况下，f(x)(x0，2)及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是()A.B.C.D.解析：选B.将区间n等分后，每个小区间的长度为x，第i个小区间为(i1，2，3，n)，则由求曲边梯形的面积的步
14、骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为.12设函数f(x)的图象与直线xa，xb及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积已知函数ysin nx在(nN*)上的面积为，则ysin 3x在上的面积为_解析：由于ysin nx在(nN*)上的面积为，则ysin 3x在上的面积为.而ysin 3x的周期为，所以ysin 3x在上的面积为2.答案：13某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为v(t)7t2(单位：km/h)，试计算这个物体在0t1(单位：h)这段时间内运动的路程s(单位：km)解：将区间0，1进行n等分，得到n个小区间：，.即i(i1，2，n)，则物体的每
15、个时间段内运动的路程siv(i)t，i1，2，n.snsi7.于是ssn .所以这个物体在0t1这段时间内运动的路程为 km.14(选做题)如图所示，求直线x0，x3，y0与二次函数f(x)x22x3所围成的曲边梯形的面积解：(1)如图，分割，将区间0，3n等分，则每个小区间(i1，2，n)的长度为x.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.(3)求和Snx1222(n1)2123(n1)9(n1)n(2n1)9999.(4)取极限SSn 9(10)(10)9(10)99.即所求曲边梯形面积为9.